Логические выражения и операции

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒

Выполните упражнение

Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

1. Какой длины эта лента?

2. Прослушайте сообщение.

3. Делайте утреннюю зарядку!

4. Назовите устройство ввода информации.

5. Кто отсутствует?

6. Париж — столица Англии.

7. Число 11 является простым.

8. 4 + 5=10.

9. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.

10. Сложите числа 2 и 5.

11. Некоторые медведи живут на севере.

12. Все медведи - бурые.

13. Чему равно расстояние от Москвы до Сенкт-Петербурга.

Логические выражения и операции

Подобно тому, как для описания действий над переменными величинами был разработан раздел математики — алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики. Поскольку основы такой алгебры были заложены в трудах английского математика Джорджа Буля (XIX век), то алгебра логики получила также название булевой алгебры. Вспомним, что ранее мы уже говорили о том, что решение любой задачи на компьютере сводится к выполнению процессором ряда арифметических и логических операций. Последние как раз и выполняются над логическими выражениями на основе законов и правил булевой алгебры. Таким образом, математический аппарат булевой алгебры позволил формализовать действия над логическими выражениям и явился базой для разработки логических элементов и, в целом, логических основ построения компьютеров.

Из сказанного становится ясно, что для лучшего понимания работы компьютера как инструмента обработки информации необходимо познакомиться с логическими выражениями, а также их преобразованием с помощью логических операций, определенных в булевой алгебре.

Алгебра — это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики.Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Можно определить понятия логической переменной, логической функции и логической операции.

Логическая переменная— это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение - латинская буква (например, A,B,X,Y и т.д.). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНАи ЛОЖЬ (1и 0).

Составное высказывание - логическая функция,которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение —F(A,B,...).

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции— логическое действие.

Рассмотрим три базовые логические операции - конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание и дополнительные - импликацию и эквивалентность. Предварительно заметим, что аргументами этих операций являются простые логические выражения, а их результат равен 1 или О (логические значения) и определяется по соответствующей таблице истинности.

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ определяет соединение двух логических выражений (высказываний) с помощью союза И. Эта операция называется также логическим умножением и обозначается символами & или ^. Рассмотрим таблицу истинности, определяющую результат этой логической операции над двумя аргументами — простыми логическими выражениями А и В, каждое из которых может принимать логические значения 0 или 1.

А	В	А&В

В соответствии с таблицей истинности можно дать следующее определение: конъюнкцией называется логическая операция, ставящая в соответствие двум простым логическим выражениям новое — сложное логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных (простых) логических выражения.

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ определяет логическое соединение двух логических выражений (высказываний) с помощью союза ИЛИ. Эта операция называется также еще логическим сложением и обозначается значком v. Рассмотрим таблицу истинности, определяющую результат этой логической операции над двумя аргументами — простыми логическими выражениями А и В, каждое из которых может принимать логические значения 0 или 1.

А	В	AvB



		1

В соответствии с таблицей истинности можно дать определение: дизъюнкцией называется логическая операция, ставящая в соответствие двум простым логическим выражениям новое — сложное логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) логических выражений.

Логическая операция ОТРИЦАНИЕ, илиИНВЕРСИЯ, определяется над одним аргументом (простым или сложным логическим выражением) следующим образом: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинным. Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО. Операция ОТРИЦАНИЕ обозначается символом , а ее результат определяется следующей таблицей истинности:

А	а

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒