Сложение и умножение вероятностей

Сложение и умножение вероятностей

Суммой двух событий и называется такое третье событие С, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий и . Обозначение суммы событий: .

Произведением двух событий и называется такое третье событие которое состоит в совместном появлении обоих события и . Обозначение произведения: .

Если события и несовместимы, то . В частности, , где и – противоположные события.

Если события и независимы, то .

Если события и зависимы, то , где – вероятность события при условии, что произошло событие .

Если события и совместны, то .

2.Пусть событие – «ученика Иванова вызвали к доске», событие – «ученика Петрова вызвали к доске».

Тогда произведением этих событий является событие – «к доске вызвали обоих учеников – Петрова и Иванова». Суммой этих событий является событие – «к доске вызвали Петрова или Иванова». Заметим при этом, что описанное событие включает в себя как частный случай ситуацию, когда обоих учеников вызвали к доске на одном и том же уроке.

3. В лотерее выпущено 100000 билетов и установлено 100 выигрышей по 200000 рублей, 2000 выигрышей – по 100000 рублей, 10000 выигрышей – по 25000 рублей и 28000 выигрышей – по 5000 рублей. Школьник захотел выиграть не менее 25000 рублей и купил один билет. Какова вероятность того, что он осуществил свое желание?

Пусть событие – «школьник осуществил свое желание», – «школьник выиграл 25000 рублей», – «школьник выиграл 100000 рублей», – «школьник выиграл 200000 рублей». Так как школьник купил только один билет, то и при этом события – попарно несовместные. Тогда . Но , , , и, следовательно, .

4. В 11 «А» классе – 25 учеников. Двое из них Коля и Саша получили «5» по геометрии и решили, что на следующем уроке их не вызовут, и поэтому не выполнили домашнего задания по геометрии. Какова вероятность того, что Колю спросят на уроке по геометрии, а Сашу нет, если учитель вызывает к доске независимо от предыдущих событий и одного ученика независимо от другого?

Пусть событие – «Колю вызвали к доске», событие – «Сашу не вызвали к доске». По условию задачи и – независимые события. Далее, Следовательно, .

☼ЗАДАЧИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Следующие задачи решить, используя теоремы о вероятности суммы и произведения событий.

8.66. В книжном магазине для проведения лотереи выделили 25 книг, причем 10 из них в переплете. За призовое место вручили 5 книг. Найти вероятность того, что из этих 5 книг хотя бы одна в переплете.

8.67. В ящике буфета имеется 12 ложек, из которых 6 золотых и 6 серебряных. Хозяйка взяла наугад 4 ложки. Найти вероятность того, что хотя бы две ложки – золотые.

8.68. Для сигнализации об угоне автомобиля на нем установлено три сигнализатора. Вероятность того, что при угоне сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора, 0,9 для второго сигнализатора, 0,98 для третьего сигнализатора. Найти вероятность того, что при попытке угона машины сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор.

8.69. Два стрелка пускают стрелы в мишень. Вероятность попадания при одном выстреле для первого лучника равна 0,8, а для второго - 0,9. Какова вероятность того, что при одном пуске в мишень попадают: а) только один из лучников; б) оба лучника; в) хотя бы один из лучников?

8.70. Вероятность поражения цели снарядом при одном залпе батареи из трех орудий равна 0,092. Найти вероятность попадания в цель снаряда, выпущенного из второго орудия, если для первого и третьего орудий эта вероятность равна 0,8 и 0,9 соответственно.

8.71. Отдел технического контроля проверяет качество масла по сортам. Вероятность того, что коробка масла имеет высший сорт, равна 0,82. Найти вероятность того, 1) что из двух проверенных коробок только одна содержит масло высшего сорта; 2) что из трех проверенных коробок только две содержат масло высшего сорта; 3) что из четырех проверенных коробок ни одна не содержит масло высшего сорта.

8.72. Вероятность того, что при одном измерении площади садового участка будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2. Произведено четыре независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка будет больше, чем заданная точность.

8.73. Школьник ищет формулу для вычисления в четырех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1, 2, 3, 4 справочнике, равна соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,75. Найти вероятность того, что формула находится: 1) только в одном справочнике; 2) во всех четырех справочниках; 3) хотя бы в одном справочнике.

8.74. В школьной библиотеке имеется 120 учебников по геометрии, причем 30 из них – новые учебники. Библиотекарь выдал на класс 35 учебников. Найти вероятность того, что: 1) все учебники окажутся новыми; 2) все учебники окажутся старыми; 3) 2 учебника окажутся новыми, а остальные старыми. При решении задачи использовать теорему об умножении вероятностей.

8.75. В магазине продавцами работают 10 женщин и 3 мужчин. В июле в отпуск ушли 5 человек. Какова вероятность того, что в отпуск ушли: а) одни женщины; б) одни мужчины; в) 3 женщины и 2 мужчин?

8.76. Новогодняя гирлянда из электрических лампочек содержит 20 лампочек, включенных последовательно. Вероятности перегорания их равны соответственно Найти вероятность того, что гирлянда перегорит.

8.77. Вероятность хотя бы одного выигрыша шахматной партии в серии из пяти игр равна 0,99757. Найти вероятность выигрыша одной партии.

8.78. Какова вероятность того, что при 25 бросаниях игральной кости

а) хотя бы один раз появится двойка;

б) хотя бы два раза появится тройка?

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒