Т е о р е м а 1. Число сочетаний, размещений и перестановок связаны друг с другом равенством

.

8.Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должны быть выбраны трое. Сколько может быть разных вариантов такого выбора?

Очевидно, что порядок кандидатур не играет роли. Следовательно, речь идет о числе сочетаний. Ответ: .

9.Вычислить . Воспользуемся теоремой 2.

Имеем .

Теперь, когда определены все виды соединений, можно образовывать из них уравнения и системы уравнений, неравенства и функции. При этом следует лишь помнить, что нижние и верхние индексы должны быть неотрицательными и целыми.

10.Решить уравнение: .

По определению в выражении  должно быть , ,  - целые. Тогда ясно, что уравнение имеет смысл лишь при натуральных значениях  и таких, что . Теперь расшифруем символы .

Имеем

и после очевидных преобразований приходим к квадратному уравнению . Его корнями являются числа , . Учитывая область допустимых значений для исходного уравнения и эквивалентность всех преобразований, получаем ответ .

11. Решить уравнение:

,

где  - натуральное число.

Очевидно, что . Расшифровывая символы перестановок и размещений, получаем

,

или

,

или . Отсюда имеем , .

В качестве ответа может подойти только число 10. Но, кроме того, должно быть по условию . Таким образом, ответ будет следующим: если , то ; если , то уравнение не имеет решений.

12. Решить систему уравнений

; .

В этой системе неизвестными являются  и . После расшифровки символов числа размещений и сочетаний легко определяется значение , а потом для  получается квадратное уравнение. В самом деле, имеем

; ,

или

Из второго уравнения получаем подбором, что . Тогда первое уравнение принимает вид , или . Решая уравнение, получаем . О т в е т: .

☼ЗАДАЧИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ