+103. [[s É [p É q]] É [[s É p] É [s É q]]].

+104. [[[p É f] É f] É p]

Первая из этих аксиом (+102) или ее эквивалент в других формулировках пропозиционального исчисления (независимо от того, является ли он аксиомой) называется законом утверждения консеквента. Аналогично вторая аксиома называется законом самодистрибутивности (материальной) импликации. Наконец, третья аксиома носит название закона двойного отрицания.

В соответствии с разъяснениями § 07, доказательством в системе P₁ называется конечная последовательность, состоящая из одной или нескольких правильно построенных формул, из которых каждая либо является одной из трех аксиом, либо (непосредственно) выводится из двух предыдущих ппф последовательности по модус поненс, либо (непосредственно) выводится из одной предыдущей ппф последовательности посредством подстановки. Доказательство называется доказательством последней ппф последовательности, и ппф называется теоремой, если она имеет доказательство.

В дополнение к сокращениям „пп", „пп-формула" и „ппф" мы будем в этой и в дальнейших главах вместо „истинностное значение истина" писать сокращенно „t", а вместо „истинностное значение ложь" писать сокращенно „f".

Подразумевающаяся главная интерпретация системы P_t уже была неявно указана в рассмотрениях § 05 и в настоящей главе. Теперь мы явно сформулируем семантические правила (в смысле § 07). Вот они:

a. f обозначает f.

b. Переменные являются переменными с областью значений t и f.

c. Форма, состоящая из одной только переменной а, принимает значение t для значения t переменной а и значение f для значения f переменной а.

d. Пусть А и В — константы. Тогда [А É В] обозначает t, если В обозначает t или А обозначает f.. В противном случае [А É В] обозначает f.

e. Пусть А является формой, а В — константой. Если В обозначает t, то [А É В] принимает значение t для любого распределения значений по её переменным. Пусть В обозначает f; тогда [А É В] для всякого распределения значений по переменным принимает значение f, если А для этого распределения значений принимает значение t, и принимает значение t, если А для этого распределения значений принимает значение f.

f. Пусть А является константой, а В — формой. Если А обозначает f, то [А É В] принимает значение t для любого распределения значений по ее переменным. Если А обозначает t, то [А É В] принимает для всякого распределения значений по ее переменным тог же самое значение, которое для этого распределения значений принимает В.

g. Пусть А и В — формы, и пусть задано некоторое распределение значений по переменным формы [А É В]. Тогда [А É В] принимает значение t, если для этого распределения значений по переменным либо В принимает значение t, либо А принимает значение f. В противном случае [А É В] принимает значение f.

Все это было выписано с такой утомительной обстоятельностью ради иллюстрации. Последние три правила можно было бы, разумеется, выразить одним предложением, если только условиться считать, что константа имеет значение — а именно, свой денотат — для любого распределения значений по любым переменным. Если, кроме того, условиться считать, что иметь значение для пустого класса переменных — это то же самое, что обозначать, то этим предложением можно было бы охватить и правило d.

Эти правила, как, вероятно, заметил читатель, приводят к тому, что каждой константе (из P₁ ) приписывается единственный денотат, а каждой форме — единственная система значений.

Что же касается обоснования этих правил, то заметим, что правило d точно соответствует тому, что было сказано о материальной импликации в § 05. А именно, все, что угодно, имплицирует истину, а ложь имплицирует все, что угодно, но истина не имплицирует ложь. Тогда правила с, е, f, g как раз таковы, какими они должны быть с учетом сказанного в § 02 о переменных и формах.

Помимо главной интерпретации системы Р₁ _; возможны также и другие ее интерпретации; некоторые из них будут дальше упомянуты в упражнениях.

Читатель все время должен помнить, что при формальном построении системы Р₁ нельзя пользоваться никакой подразумеваемой интерпретацией, ни главной, ни какой-либо иной (ср. §§07, 09).

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒