Лекции 14, 15 Дифракция света

Дифракция световых волн: принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция световых волн: метод зон Френеля. Дифракция световых волн: радиус зон Френеля. Применение метода зон Френеля в дифракции световых волн от круглого диска: пятно Пуассона. Графический метод расчёта дифракции световых волн от круглого отверстия с помощью спирали Френеля. Графический метод расчёта дифракции световых волн от круглого диска с помощью спирали Френеля. Применение метода зон Френеля в дифракции световых волн от зонной пластинки. Применение метода зон Френеля в дифракции световых волн от пластинки Вуда. Графический метод расчёта дифракции Френеля световых волн от полуплоскости с помощью спирали Корню. Графический метод расчёта дифракции Френеля световых волн от щели в плоскости с помощью спирали Корню. Дифракция Фраунгофера световых волн от круглого отверстия. Дифракция Фраунгофера световых волн от щели в плоскости. Предельный переход от волновой оптики к геометрической. Формирование дифракционной картины при нормальном падении плоской монохроматической проходящей световой волны на дифракционную решётку.

Формирование дифракционной картины при наклонном падении плоской монохроматической проходящей световой волны на дифракционную решётку. Формирование дифракционной картины при наклонном падении плоской монохроматической световой волны на отражательную дифракционную решётку. Спектральные характеристики дифракционных решеток: угловая и линейная дисперсия. Угловая ширина главного дифракционного максимума нулевого порядка плоской монохроматической световой волны. Разрешающая способность дифракционной решёткипо критерию Релея. Дифракция рентгеновских лучей на линейных цепочках структурных элементов. Формулы Лауэ. Понятие о рентгеноструктурном анализе.

Дифракция световых волн: принцип Гюйгенса-Френеля

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Дифракция, в частности, приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Отклонения от законов геометрической оптики при прочих равных условиях оказываются тем меньше, чем меньше длина волны. Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции световых волн.

Перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции световых волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерференцией световых волн.

Перераспределение интенсивности, возникающее вследствие суперпозиции световых волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией световых волн. Поэтому говорят об интерференционной картине от двух узких щелей и о дифракционной картине от одной щели. Согласно принципу Гюйгенса - Френелякаждый (рис. 10. 15) элемент dS волновой поверхности S площадью служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS площадью. Амплитуда dA₀ колебаний A светового вектора

сферической (10. 9) световой волны с учётом расстояния r от элемента dS площадью источника сферической световой волны до произвольной М точки пространства имеет следующий вид: dA₀ = ma₀dS/r, (10. 79) где m - коэффициент, зависящий от υ угла между нормалью n к элементу dS площадью и r радиусом - вектором, который соединяет этот элемент dS площадью с произвольной М точкой пространства. При υ = 0 этот m коэффициент максимален. При υ = π /2 коэффициент m обращается в нуль. От каждого (рис. 10. 15) элемента dS площадью волновой поверхности S площадью в

произвольную М точку пространстваприходит колебание A светового вектора сферической световой волны, проекция (10. 8) dA которого на плоскость, перепендикулярную r радиусу- вектору, имеет следующий вид: dA = (ma₀dS/r)cos(ω t - kr + φ ₀), (10. 80) где (10. 01) mA₀dS/r - амплитуда dA₀ колебаний A светового вектора сферической(10. 9)световой волны в произвольной М точке пространства,

находящейся на расстояния r от элемента dS площадью источника сферической световой волны в направлении υ угла между n нормалью к этому элементу dS площадью; Ф = ω t + φ ₀ - фаза колебания в произвольный момент t времени на сферической волновой поверхности S площадью; a₀ - множитель, определяемый амплитудой световой волны в том месте, где находится элемент dS площадьюна волновой поверхностиS площадью; φ ₀ - начальная фаза колебания сферической световой волны в момент t₀= 0 времени в месте расположения волновой поверхностиS площадью; ω - циклическая частота колебаний A светового вектора сферической световой волны; k = ω /v - волновое число;

v = 1/(ε ₀ε μ ₀μ )^1/2 - фазовая скорость электромагнитной волны, чем являются световые волны с λ ₀ длинами волнв вакууме, находящимися в интервале (10. 3) 10 нм < λ ₀ < 1 мм и распространяющимися в среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями. Аналитическое выражение принципа Гюйгенса - Френелязаключается в том, что результирующая проекция Aна плоскость, перпендикулярную r радиусу - вектору, A светового вектора сферической световой волны (рис. 10. 15) в произвольной М точке пространства, представляет собой следующую суперпозицию проекций (10. 79) dA от всех элементов dS площадью волновой поверхностиS площадью: A = ∫ dA = ∫ (ma₀/r)cos(ω t - kr + φ ₀)dS. (10. 81) S S

Дифракция световых волн: метод зон Френеля

Точечный источник S создаёт монохроматическую сферическую световую волну в однородной изотропной среде с n показателем преломления, поэтому оптическая λ = λ ₀ /n длина этой световой волны совпадает с геометрическими размерами на рис. 10. 16.

Сферическая(2. 76) в разделе 2. 0 " Колебания и волны" волновая поверхность световой волны в произвольный момент времениt имеет aрадиус. Если закрыть все зоны кроме 1 - ой с r₁радиусом, то световые волны, пройдя оптический путь b + λ /2, где λ = λ ₀/n -длина световой волны в однородной изотропной среде с n показателем преломления, будут приходить в M точку пространства на Э экране в фазеи А амплитудаA светового вектора сферической световой волны в этой M точке пространствана Э экране будет равен А₁.

Если в M точку пространства на Э экране будут приходить световые волны от m - зон с

r₁, r₂, r₃, … радиусами, то результирующая Аамплитуда A светового вектора сферической световой волны в этой M точке пространства будет равна алгебраической сумме А₁, А₃, А₅, … амплитуд, т. е. от зон с нечётными номерамиr₁, r₃, r₅, … радиусов и А₂, А₄, А₆, … амплитуд, т. е. от зон с чётными номерами r₂, r₄, r₆, … радиусов.

Все световые волны в M точке пространства от зон с нечётными номерамиr₁, r₃, r₅, …радиусов приходят в точку пространства в фазе, т. к. они проходят b + λ /2, b + 3λ /2, b + 5λ /2, … оптические пути, т. е. отличающиеся на λ длину волны. Примем знак их А₁, А₃, А₅, …амплитуд положительным. Все световые волны от зон с чётными номерамиr₂, r₄, r₆, … радиусовприходят в M точку пространства в фазе, т. к. они проходят b +2λ /2, b +4λ /2, b + 6λ /2, … оптические пути, т. е. отличающиеся на λ длину волны. Но А₂, А₄, А₆, … амплитуды от зон с чётными номерамиr₂, r₄, r₆, … радиусов противоположны по фазе А₁, А₃, А₅, …амплитудам, т. е. от зон с нечётными номерамиr₁, r₃, r₅, … радиусов. Поэтому знак А₂, А₄, А₆, … амплитудявляется отрицательным.

Результирующая А амплитуда A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства (рис. 10. 16) на Э экране от зон с нечётными номерами r₁, r₃, r₅, …радиусови от зон с чётными номерамиr₂, r₄, r₆, … радиусов имеет следующий вид:

А = А₁- А₂ + А₃ - А₄ + … = (А₁/2) + [(А₁/2) - А₂ + (А₃/2)] +[(А₃/2) - А₄ + (А₅/2)] + … (10. 82) В (10. 82) слагаемые, являющиеся суммой Аамплитуд A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства (рис. 10. 16) от соседних зон с нечётными номерами радиусови от зон с чётными номерамирадиусов, имеют следующий вид:

(А₁/2) - А₂ + (А₃/2) ≈ 0, (А₃/2) - А₄ + (А₅/2) ≈ 0, (А₅/2) - А₆ + (А₇/2) ≈ 0, …, (10. 83) т. к. А₁, А₃, А₅, … амплитуды, т. е. от зон с нечётными номерамиr₁, r₃, r₅, … радиусов, примерно равны А₂, А₄, А₆, … амплитудам от зон с соседними чётными номерамиr₂, r₄, r₆, …. радиусов.

Подставляем (10. 83) в (10. 82): А = А₁- А₂ + А₃ - А₄ + … ≈ А₁/2, (10. 84) из чего следует, что при открытии m - зонФренеля результирующая А амплитуда A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства будет меньше амплитуды А₁ при открытой только 1 - ой зоне с r₁радиусом.

При нечётном количестве открытых зонФренеля, например m = 3, результирующая А амплитуда A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства c учётом (10. 83) имеет следующий вид:

А = А₁- А₂ + А₃ = (А₁/2) + [(А₁/2) - А₂ + (А₃/2)] + А₃/2 ≈ (А₁/2) + (А₃/2) > А₁/2. (10. 85) При произвольном нечётном m количестве открытых зонФренеля результирующая А амплитуда A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства c учётом (10. 85) имеет следующий вид: А ≈ (А₁/2) + (А_m /2). (10. 86)

При чётном количестве открытых зонФренеля, например m = 4, результирующая

А амплитуда A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства c учётом (10. 83) имеет следующий вид:

А = А₁- А₂ + А₃- А₄ = (А₁/2) + [(А₁/2) - А₂ + (А₃/2)] +[(А₃/2) - А₄] ≈ (А₁/2) + (А₃/2) - А₄< А₁/2. (10. 87) При произвольном m чётном количестве открытых зонФренеля результирующая

А амплитуда A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства c учётом (10. 83) имеет следующий вид: А ≈ (А₁/2) + (А_m-1 /2) - А_m. (10. 88) Амплитуда А_m-1 светового A вектора сферической световой волны в M точке пространства в (10. 88) от зоны с нечётным номеромr_m_-1радиусапримерно равна А_m амплитуде от зоны с соседним чётным номеромr_m радиуса, поэтому имеет место следующее выражение: (А_m-1 /2) - А_m ≈ - А_m/2. (10. 89) Подставляем (10. 89) в (10. 88) иполучаемследующую А результирующую амплитуду

A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства при произвольном чётном m количестве открытых зонФренеля: А ≈ А₁/2 - А_m/2. (10. 90) Сравниваем (10. 86) и (10. 90), объединяем их в одно выражение и получаем следующую

А результирующую амплитуду A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства при произвольномm количестве открытых зонФренеля: А ≈ А₁/2 ± А_m/2, (10. 91) где знак " +" берётся при нечётном количестве открытых зонФренеля, а знак " - " берётся при чётном количестве открытых зонФренеля.

Дифракция световых волн: радиус зон Френеля

−

Радиус (рис. 10. 16) r_m зоныФренеляявляется катетом двух прямоугольных (рис. 10. 7) треугольников. Исключением r_m² определяем следующую высоту h_m сферического сегмента m - ой зоныФренеляна сферической волновой поверхности(рис. 10. 17): r_m² = a² - (a - h_m)²

r_m² = (b + mλ /2)² - (b + h_m)²↔

↔ h_m = [bmλ + m²(λ /2)²]/2(a + b). (10. 92) Ограничившись рассмотрением не слишком больших номеров m зонФренеля, можно ввиду малости λ длины световой волны пренебречь в (10. 92) слагаемым, содержащим λ ²: h_m ≈ bmλ /2(a + b). (10. 93)

Учтём малостьвысоты h_m сферического сегментаm - ой зоныФренеляпо (рис. 10. 17) сравнению с a радиусомв произвольный момент tвременисферическойволновой поверхности, т. е. h_m < < a, вследствие чего выражение r_m² = a² - (a - h_m)² принимает следующий вид: r_m² = = a² - (a - h_m)²= h_m(2a - h_m) ≈ 2ah_m ↔ h_m≈ r_m²/2а. (10. 94)

b + (mλ /2)

Подставляем (10. 93) высоту h_m сферического сегмента m - ой зоныФренеляна сферической волновой поверхности(рис. 10. 17) в (10. 94), в результате чего в зависимости от a радиуса сферической волновой поверхности в произвольный момент t времени, расстояния a + b от S источника световой волны до Э экрана, b расстояния от центра сферической волновой поверхности до (рис. 10. 16),

(рис. 10. 17) произвольной М точки пространства, m номера интересующей открытой зоныФренеля и длины λ = λ ₀ /n световой волны в однородной изотропной среде с n показателем преломления получаем следующее выражениеr_m радиуса зоныФренеля: r_m = (abmλ /a+b)^1/2. (10. 95)

Применение метода зон Френеля в дифракции световых волн от круглого диска: пятно Пуассона

Непрозрачный(рис. 10. 18) Д диск закрывает m первыхзонФренеля, поэтому с учётом равенства нулю А₁, А₂, А₃, … А_m амплитуд A светового вектора сферическойсветовой волны в M точке пространства на Э экране (рис. 10. 16) от m первыхзонФренеля, закрытых непрозрачным(рис. 10. 18) Д диском, т. е. от зон с

номерами r₁, r₂, r₃, … r_m радиусов, результирующая Аамплитуда A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства (рис. 10. 16) от (10. 84) всех открытых зон с

m + 1, m + 2, m + 3, …номерами, т. е. от зон с r_m₊₁, r_m₊₂, r_m₊₃…номерамирадиусов, имеет следующий вид: А = А_m+1 - А_m+2 + А_m+3 - А_m+ ₄ + … =

= (А_m+1 /2) + [(А_m+1/2) - А_m+2 + (А_m+3/2)] + [( А_m+3 /2) - А_m+4 + (А_m+5 /2)] +… (10. 96) В (10. 96) слагаемые: (А_m+1/2) - А_m+2 + (А_m+3/2) ≈ 0, ( А_m+3 /2) - А_m+4 + (А_m+5 /2) ≈ 0, …, (10. 97) т. к. амплитуды А_m+1, А_m+3, т. е. от зон с номерамиr _m+1, r _m+3 радиусов, примерно равны

А _m+2 амплитуде зоны с соседним номером r _m+2радиуса, а А_m+3, А_m+5 амплитуды, т. е. от зон с номерамиr _m+3, r _m+5 радиусов, примерно равны А _m+4 амплитуде зоны с соседним номеромr _m+4радиуса и т. д. Подставляем (10. 97) в (10. 96) и получаем следующее выражение А результирующей амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства (рис. 10. 16) от всех открытых зон с m + 1, m + 2, m + 3, …номерами, т. е. от зон с номерамиr_m₊₁, r_m₊₂, r_m₊₃…радиусов: А ≈ А_m+1 /2. (10. 98) Согласно (10. 98) за непрозрачным (рис. 10. 18) Д диском образуется светлое пятно, которое назвали пятном Пуассона и которое тем светлее, чем меньше зон mФренеляперекроет этот непрозрачный Д диск, т. к. с уменьшением m количества зон Френеля, перекрытых непрозрачным

Д диском, уменьшается r_m радиус (рис. 10. 16)зоныФренеля и увеличивается, (10. 9) вследствие уменьшения расстояния r от источника сферической световойволны до произвольной M точки пространства на Э экране, А_m+1амплитуда A светового вектора сферической световой волны в этой

M точке пространства.

Графический метод расчёта дифракции световых волн от круглого отверстия с помощью спирали Френеля

При дифракцииФренеля на круглом отверстии при открытии ДФ диафрагмой нечётного количества, например (рис. 10. 19), 3 - х зонна Э экране возникают светлые и тёмные дифракционные кольцасо светлым (10. 86) пятном в центре.

При дифракцииФренеля на круглом отверстии при открытии ДФ диафрагмой чётногоколичества, например (рис. 10. 20), 4 - х зон на Э экране возникают светлые и тёмные кольцас тёмным (10. 90)пятномв центре. Дифракция Френеля существует при сферической волновой поверхностисветовой волны. Если источник сферической световой волны, например, Солнце, находится далеко от преграды или диафрагмы, то после её прохождения формируется параллельный пучок света с площадью сечения, равного по форме и величине площади диафрагмы.

В M точку пространства на Э экране (рис. 10. 21) приходят световые волны от одной зоны Френеля с r₁радиусом. Результирующий (рис. 10. 3) вектор A₁ амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране от одной зоны Френеля с r₁радиусом будет равен сумме элементарных векторов d A₁ , d A₂ , …, d A_n от каждой узкой кольцевой зоны, находящихся на расстояниях соответственно b + dλ , b + 2dλ , …, b + (λ /2) до этой M точки пространства на Э экране. Модули (рис. 10. 21) dA₁, dA₂, …, dA_n элементарных d A₁ , d A₂ , …, d A_n векторовот каждой узкой кольцевой зоны убывают по величине, поскольку по мере удаления кольцевой зоны от одной зоны Френеля увеличивается расстояние от этой кольцевой зоны до M точки пространства на Э экране.

Световая волна приходит в M точку пространства на Э экране от узкойкольцевой зоны с элементарным вектором dA₂(10. 25) с фазой, имеющей следующий вид: Ф₂ = ω t - k(b + 2dλ ), (10. 99) где ω -циклическая частотаколебаний A светового вектора световой волны; k = ω /v = 2π /λ (2. 70) из раздела 2. 0 " Колебания и волны" - волновое число; v = с/(ε μ )^1/2- фазовая(9. 10) из раздела 9. 0 " Электромагнитные волны. Излучение" скорость

электромагнитной волны, чем являются световые волны с λ ₀длинами волнв вакууме, находящимися в интервале (10. 3) 10 нм < λ ₀ < 1 мм и распространяющимисяв однородной изотропной среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями.

Световая волна приходит в M точку пространства на Э экране от узкой кольцевой зоны с элементарным вектором d A₁ (10. 25) с фазой, имеющей следующий вид: Ф₁ = ω t - k(b + dλ ). (10. 100)

Разность Ф₂- Ф₁фаз у световых волн, пришедших соответственно от узких кольцевых зон с элементарными векторами d A₂ , d A₁ с учётом (10. 100), (10. 99) имеет следующий вид:

Ф₂- Ф₁= kdλ = 2π dλ /λ = dφ , (10. 101) где dφ - угол (рис. 10. 21) между векторами от соседних узких кольцевых зон.

Световая волна приходит в M точку пространства на Э экране от узкой кольцевой зоны с элементарным вектором d A_n (10. 25), прилегающей к (рис. 10. 21) границе первой зоныФренеля с фазой, имеющей следующий вид: Ф_n = ω t - k [b + (λ /2)]. (10. 102)

Разность Ф_n- Ф₁фаз у световых волн, пришедших соответственно от узких кольцевых зон с элементарными векторами d A_n , d A₁ с учётом (10. 102), (10. 101) имеет следующий вид: Ф_n- Ф₁= k(λ /2 - dλ ) ≈ 2π λ /2λ = π , (10. 103)

поэтому (рис. 10. 21) элементарный вектор d A_n от узкой кольцевой зоны, прилегающей к границе первой зоны Френеля, направлен противоположно элементарному вектору d A₁ от узкой кольцевой зоны, находящейся в центре первой зоны Френеля.

Таким образом, модули (рис. 10. 21) dA₁, dA₂, …, dA_n элементарных векторов d A₁ , d A₂ , …, d A_n от каждой узкой кольцевой зоны убывают по величине, а dφ угол между векторами от соседних узких кольцевых зон постоянен. По этой причине фигура, составленная из соседних векторов d A₁ , d A₂ , …, d A_n от каждой узкой кольцевой зоны, являющихся элементом зон Френеля, представляет собой закручивающуюся спираль с постепенным уменьшением радиуса этой спирали по мере увеличения количества зон Френеля.

В M точку пространства на Э экране (рис. 10. 22) приходят световые волны от полутора зон Френеля с r₁_{, 5}радиусом. Результирующий (рис. 10. 22) вектор A ₁_{, 5} амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства от полутора зон Френеля с r₁_{, 5}радиусом будет равен сумме элементарных векторов d A₁ , d A₂ , …, d A_n от каждой узкой кольцевой зоны, находящихся на расстояниях соответственно b + dλ , b + 2dλ , …, b + (3λ /4) до этой M точки пространства на Э экране.

Световая волна приходит в M точку пространства на Э экране от узкойкольцевой зоны с элементарным вектором dA_n(10. 25), прилегающей к (рис. 10. 22) границе полуторной зоны Френеля с фазой, имеющей следующий вид: Ф_n = ω t - k [b + (3λ /4)], (10. 104) Разность Ф_n- Ф₁ фаз у световых волн, пришедших соответственно от узкихкольцевых зон с элементарными векторами dA_n, dA₁с учётом (10. 104), (10. 100) имеет следующий вид: Ф_n - Ф₁= k[(3λ /4)- dλ )] ≈ 2π 3λ /4λ = 3π /2, (10. 105)

поэтому (рис. 10. 22) элементарный вектор d A_n от узкой кольцевой зоны, прилегающей к границе полуторной зоны Френеля, составляет с элементарным вектором d A₁ от узкой кольцевой зоны, находящейся в центре первой зоны Френеля, 3π /2 угол.

Световая волна приходит в M точку пространства на Э экране от узкойкольцевой зоны с элементарным вектором dA_n, прилегающей к (рис. 10. 23) границе второй зоны Френеля с фазой, имеющей следующий вид: Ф_n = ω t - k (b + λ ), (10. 106) Разность Ф_n- Ф₁ фаз у световых волн, пришедших соответственно от узкихкольцевых зон с элементарными векторами dA_n, dA₁с учётом (10. 106), (10. 100) имеет следующий вид: Ф_n- Ф₁= k(λ - dλ ) ≈ 2π λ /λ = 2π , (10. 107) поэтому (рис. 10. 23) элементарный вектор dA_nот

ДФ

узкой кольцевой зоны, прилегающей к границе второй зоны Френеля, составляет с элементарным вектором d A₁ от узкой кольцевой зоны, находящейся в центре первой зоны Френеля, 2π угол, т. е. элементарный вектор d A_n от узкой кольцевой зоны, прилегающей к границе второй зоны Френеля, сонаправлен элементарному вектору d A₁ от узкой кольцевой зоны, находящейся в центре первой зоны Френеля.

Согласно (рис. 10. 23) результирующий (рис. 10. 3) из раздела 10. 1 " Электромагнитная природа света. Интерференция света" вектор амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства от двух зон Френеля с r₂радиусом, построенный с помощью спирали Френеля, имеет A амплитуду, примерно равную нулю, что согласуется с выражением (10. 90)

А ≈ А₁/2 - А₂/2 при двух открытых зонахФренеля, которое также примерно равно нулю, вследствие того, что А₁амплитуда первой зоны Френеля примерно равна

А₂ амплитуде от соседней второй зоны Френеля.

Согласно (рис. 10. 24) результирующий (рис. 10. 3) из раздела 10. 1 " Электромагнитная природа света. Интерференция света" вектор A_∞ амплитудывектора A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране от всех открытых зонах Френеля, построенный с помощью спирали Френеля, имеет A_∞амплитуду, примерно равную половине А₁/2 амплитуды(рис. 10. 16) открытой только первой зоныФренеля, что согласуется с выражением (10. 84) А = А₁- А₂ + А₃ - А₄ + … ≈ А₁/2, выведенное для Арезультирующей

амплитуды (рис. 10. 16) открытой только первой зоныФренеля, что согласуется с выражением (10. 84) А = А₁- А₂ + А₃ - А₄ + … ≈ А₁/2, выведенное для А результирующей амплитуды

A светового вектора сферической световой волны в M точке пространствана Э экране от открытых m - зонФренеля.

Графический метод расчёта дифракции световых волн от круглого диска с помощью спирали Френеля

Применение графического метода расчёта, т. е. с помощью спирали Френеля,

12 3 4 5 6 Следующая ⇒