![]()
|
|||||||
Задача 17. ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6 Задача 17. Имеется универсальное множество чисел. А) Найти мажоранты и миноранты для множества К мажорантам относятся элементы
К минорантам относятся элементы множества Супремум 5, он же является максимумом. Б) На множестве всех рациональных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум Для множества
Пусть E множество на числовой прямой и с-число ( 1. Число с называется мажорантой множества E если для всех x из E 2. Число с называется минорантой множества E если для всех x из E Пример: E=(-3;5) (-4) – миноранта (-3) – миноранта (5) – мажоранта (6) - мажоранта Определение: 1. Мажоранта принадлежащая множеству называется его наибольшим элементом (Max) 2. Миноранта принадлежащая множеству называется его наименьшим элементом (Min) Определение: 1. Наименьшая мажоранта множества называется его точной верхней гранью. (Супремум, Sup E). 2. Наибольшая миноранта множества называется его точной нижней гранью. (Инфинум, Inf E). Пример: Sup (E)=5 Inf (E)=-3 Определение: 1. Множество E называется ограниченным сверху если у него есть хотя бы одна мажоранта. 2. Множество E называется ограниченным снизу если у него есть хотя бы одна миноранта. Теорема: 1. Любое не пустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань. 2. Любое не пустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю грань. Доказательство: 1. Пусть X не пустое ограниченное сверху множество. Обозначим через Y множество мажорант для множества X. Проверим, что для этих двух множеств выполнены условия аксиомы полноты. Действительно, X Y расположено правее чем X т.к. элементы Y это мажоранты для X. Значит по аксиоме полноты найдется точка с лежащая между этими двумя множествами.
Профессор В. Наумов
|
|||||||
|