Отношения. Задача 1

2. Отношения

Задача 1

А) A= {1, 2, 3}; B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Множество A × B содержит18 упорядоченных пар.

Выделим на этом множестве отношение «больше»: a> b, где a ∈ A и b ∈ B, тогда

R= {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}, т. е. из18 пар множества A × B три упорядоченные пары принадлежат отношению a R b, где R обозначает слово «больше». Если вместо букв подставить их значения, то получим верные утверждения: 2 > 1; 3 > 1; 3 > 2.

Б) Найдем сечение отношения по 3.

. Множество всех сечений отношения называется фактор-множеством множества по отношению к .

Фактор-множество можно обозначать списком

В) Найдите |R|, если R определено следующим образом: x делит y(без остатка); x∈A; y∈B, где A= {1, 2, 3, 4, 5}; B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Г) Найдите |R|, если R определено следующим образом:

xAB ∈ I ; yAB ∈ I ,

где A= {1, 2, 3, 4, 5}; B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Показать, то отношение modp является отношением эквивалентности

Пусть n=pq+r.

Говорят, что число x сравнимо с y по модулю p, если (x-y)=mp. Записывают xºy(modp).

Покажем, что это отношение эквивалетности при p>1.

1. Рефлексивность .

2. Симметричность

3. Транзитивность

Задача 1а).Построить родословное дерево, в котором использовать обозначения:

= - брак;

Дереву принадлежат только прямые потомки.

Дети короткой вертикальной линией соединяются с горизонтальной линией, ведущей к родителям.

Пусть дерево имеет вид

Построить отношения «быть родственником», «быть потомком», «быть предком».

Привести примеры унарных, бинарных и тернарных отношений.

«Быть целым»

«Быть равным»

«Быть отцом и матерью»

Задача 2.Бинарное отношение задано матрицей.

Проверить выполнение свойств симметричности, рефлексивности, транзитивности. Отношение обладает свойством транзитивности.

Задача 3.В множестве заданы отношения:

Задать отношения другими способами.

Задача 4Функция f:R→R>0, f(x)=e^x, устанавливает взаимно однозначное соответствие множества всех действительных чисел R с множеством положительных действительных чисел R>0. Обратным к отображению f является отображение g:R>0→R, g(x)=ln x.

2) Отображение f:R→R≥0, f(x)=x², множества всех действительных R на множество неотрицательных чисел R≥0

сюръективно, но не инъективно, и поэтому не является биективным

Задача 5Пусть даны два множества A={1; 3; 5; 7}и B={2; 4; 6}. Соответствие задано следующим образом t={(x; y) | x+y=9}. Задать данное отношение как множество упорядоченных пар, орграфом, в виде матрицы.

Решение. 1) t={(3; 6), (5; 4), (7; 2)} - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;

2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.

3) в матричном представлении это соответствие имеет вид

Задача 6 Пусть A={1,2,3} и B={2,3,4}. Представить графически их декартово произведение.

Тогда множество A×B состоит из следующих девяти элементов: (1,4), (2,4), (3,4), (1,3), (2,3), (3,3), (1,2), (2,2), (3,2). Графически элементы произведения множеств A×B удобно помещать на «координатной плоскости», считая, что первый множитель A расположен на горизонтальной полуоси, а второй множитель B – на вертикальной. Например,

(1,4) (2,4) (3,4)

(1,3) (2,3) (3,3)

(1,2) (2,2) (3,2)

Задача 7. Построить различные соответствия

А) Постройте граф соответствия «Больше» для множеств Х={2,4,6}и Y={1,3,5}. Найдите образ числа 4 и полный прообраз числа 5.

Б) Для множеств Х={25,16,7,6}и Y={5,2,3,9,1}задайте график соответствия «Делится на». Постройте граф этого соответствия. Найдите образ числа 6 и полный прообраз числа 2. Какой элемент имеет пустой прообраз? Для какого элемента полный прообраз совпадает со всем множеством Х? Найдите область определения и множество значений этого соответствия.

В) Пусть Х={мама, папа, рама, яма} и Y={а, м, р, п, ф, я}. Задайте график соответствия «В слово х входит буква у» и постройте граф этого соответствия. Найдите образ слова «мама» и полный прообраз буквы «м». Найдите букву с пустым прообразом.

Г) Пусть Х – множество учащихся в классе, Y – множество парт в том же классе. Каждому учащемуся сопоставляется парта, за которой он сидит. Что такое полный прообраз данной парты? Что такое образ множества всех учащихся?

Д) Множество Х состоит из всех квадратов на плоскости, а множество Y – из всех окружностей на той же плоскости. Каждому квадрату х сопоставляется вписанная в него окружность. Является ли это соответствие отображением Х в Y. Инъективно ли оно? Что является полным прообразом данной окружности? Станет ли это соответствие инъективным, если заменить Х на множество Z квадратов, стороны которых параллельны осям координат?

Задача 8. Пусть задано множество отношений

А)