Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Задача 6.7.. Задача 7.30.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒


Задача 6.7.

Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения или системы

 

Решение.

 

Найдем состояния равновесия системы:

Следовательно, система имеет только одно состояние равновесия: (0,0)

Рассмотрим функцию:

Её производная в силу системы имеет вид:

Рассмотрим две окружности:  и

Покажем, что на первой окружности выполнено условие , а на второй - :

1.

Траектории системы пересекают эту окружность по направлению «к центру».

2.

Траектории системы пересекают эту окружность по направлению «от центра».

Значит, в фазовом пространстве рассматриваемой системы имеется отрицательно инвариантное кольцо, в котором нет точек покоя системы.

Лемма. Если внутри отрицательно инвариантной для траекторий системы области нет состояний равновесия системы, то в этой области содержится по крайней мере один цикл системы.

Согласно этой лемме, исходная система имеет по крайней мере один цикл.

Построим фазовый портрет системы при помощи математического пакета Maple17, чтобы наглядно убедиться в существовании цикла (рис.6.1). Текст программы приведен в приложении.

                              рис.6.1

 

 

Задача 7.30.

 

Методом Пуанкаре найти приближенно периодическое решение данного уравнения.

 

 

Решение.

 

Положим

Тогда наше уравнение примет вид:

 

 

Решение будем искать в виде ряда по степеням малого параметра, то есть в виде:

 

Тогда получим:

 

 

Подставим ряды в исходное уравнение:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра μ в левой и правой частях последнего равенства:

                                                                                        (1)

Поскольку  – не целое, то порождающее уравнение имеет единственное периодическое решение, которое будем искать в виде:

Тогда

,

Подставим полученные выражения в первое уравнение системы (1) и получим:

 

 

Очевидно, что единственное 2π-периодическое решение второго уравнения есть y1=0.

Подставим  в третье уравнение системы (1) и получим:

                 (2)

Будем искать решение последнего уравнения в виде:

Подставим в уравнение (2) и получим:

Найдем коэффициенты:

 

Тогда

Получили приближенное равенство:

Окончательно получаем:

 

Используя пакет Maple17 сравним полученное решение с точным решением на периоде [0,2π]. Текст программы приведен в приложении.

 

Для μ=0.5 (рис.7.1):

                                рис.7.1

 

 

Для μ=1 (рис.7.2):

                                     рис.7.2

 

 


⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.