Задача 5.16.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Задача 5.16.

С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость все состояния равновесия системы

Решение.

Найдем состояния равновесия. Для этого решим систему:

Точками покоя системы являются: M₁(1;1), M₂(-4;-4)

Запишем матрицу Якоби системы:

Для точки M₁(1;1) имеем:

Для точки M₂(-4;-4) имеем:

Найдем собственные значения для матрицы :

Так как свободный член полученного полинома отрицателен => этот полином не гурвицев => не выполняется условие, чтобы все собственные значения матрицы имели отрицательную вещественную часть. Следовательно, по теореме о неустойчивости по первому приближению, положение равновесия неустойчиво по Ляпунову.

С помощью математического пакета Maple17 построим фазовый портрет в окрестности точки M₁(1;1) и покажем неустойчивость (рис.5.1). Текст программы приведён в приложении.

рис.5.1

Найдем собственные значения для матрицы:

Так как все коэффициенты полученного полинома – положительные => это полином Гурвица => все его нули имеют отрицательные вещественные части.

Так как все собственные значения матрицы имеет отрицательную вещественную часть, следовательно, по теореме об устойчивости по первому приближению, положение равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову.

С помощью математического пакета Maple17 построим фазовый портрет в окрестности точки M₂(-4;-4) и покажем асимптотическую устойчивость (рис.5.2). Текст программы приведен в приложении.

рис.5.2

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒