Растяжение (сжатие) прямого бруса постоянного сечения

7.2. Растяжение (сжатие) прямого бруса постоянного сечения

Установим единый план постановки и решения прямой задачи для бруса (стержня): задаются условия для деформаций продольных волокон бруса; записываются зависимости, присущие данному виду деформации; выделяется основное неизвестное, имеющее непосредственную связь с другими искомыми величинами, после чего выполняется решение.

Для чистого растяжения задаются следующие условия: 1) сечения остаются плоскими, т.е. все волокна, параллельные оси бруса, деформируясь одинаково, испытывают только растяжение, деформации сдвига отсутствуют, откуда согласно физическому закону следует, что касательные напряжения и

соответствующие им внутренние усилия в поперечных сечениях бруса (попе-речные силы и крутящие момент) равны нулю; 2) растяжение каждого из воло-кон равномерное, т.е. в пределах волокна (и всего бруса) ε_x= const, ε_y= ε_z= – νε_x= const; 3) физический закон – закон Гука для одноосного напряженного состояния; из него вытекает, что σ_х= const; как следствие, изгибающие момен-ты при совмещении центра приведения с центром тяжести обращаются в нуль; 4) задана величина продольной силы N.

Для определения характеристик растянутого бруса ε_х, u и σ_х имеем зависимости:

, ε_х= ∂u/∂х , σ_х= Еε_х .

За основное неизвестное, через которое выражаются остальные искомые величины, целесообразно принять ε_x. Так как перемещение u – функция одной переменной х, то

ε_х= du/dx ,

откуда

Предположим, что все волокна одинаково закреплены, т.е. имеют одинаковые начальные перемещения u(0). Из условия: при х = 0 u = u(0) следует, что С = u(0), и следовательно, имеем

u = ε_хх + u(0) .

Удлинение бруса на участке 0–х равно

λ_x = ε_xx .

При х = l, где l – длина бруса, имеем

λ = ε_xl.

Интегральное уравнение при σ_x= const принимает вид

N = σ_x А,

откуда

σ_х = N/A .

Обращаясь к физическому закону, находим

ε_х= N/(ЕА)

и окончательные выражения для перемещений и удлинений:

u = (Nx)/(EA) + u(0), λ_x= (Nx)/(EА), λ = (Nl)/(EA).

При сжатии продольная сила N имеет отрицательное значение.

Анализ полученного решения приводит к следующим выводам:

1. На основании статического граничного условия на торцах постоянное напряжение трансформируется в равномерно распределенную нагрузку Х_р=σ_х, которая и соответствует рассмотренной деформации чистого растяжения.

2. Напряжение σ_х прямо пропорционально N и обратно пропорционально А. Следовательно, при заданной продольной силе напряжение можно уменьшить, увеличив площадь поперечного сечения.

3. Удлинение бруса обратно пропорционально величине ЕА, называемой жесткостью при растяжении. Жесткость определяют модуль упругости и гео -метрическая характеристика сечения.

⇐ Предыдущая 23 24 25 26 272829 30 31 32 Следующая ⇒