Теорема 12.1. Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси Oz, имеет вид (12.21), т. е. не содержит координаты z.

Возьмем на цилиндре любую точку М(х; у; z) (см. рис. 84). Она лежит на какой-то образующей. Пусть N — точка пересечения этой образующей с плоскостью Оху. Следовательно, точка N лежит на кривой К и ее координаты удовлетворяют уравнению (12.21).

Рис. 84.

Но точка М имеет такие же абсциссу х и ординату у, что и точка N. Следовательно, уравнению (12.21) удовлетворяют и координаты точки M(x;y;z), так как оно не содержит z. И так как М — это любая точка цилиндра, то уравнение (12.21) и будет уравнением этого цилиндра.

Теперь ясно, что F(x; z) = 0 есть уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси Оу, a F(y; z) = 0 — с образующими, параллельными оси Ох. Название цилиндра определяется названием направляющей. Если направляющей служит эллипс

в плоскости Оху, то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 85).

Рис. 86. Рис. 85.

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение х² + у² = R². Уравнение х² = 2pz определяет в пространстве параболический цилиндр (см. рис. 86). Уравнение

определяет в пространстве гиперболический цилиндр(см. рис, 87).

Рис. 87.

Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат х, у и z.

Поверхности вращения. Конические поверхности

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения этой кривой запишутся в виде

(12.22)

Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.

Рис. 88.

Возьмем на поверхности произвольную точку M(x;y;z) (см. рис. 88). Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz, и обозначим точки пересечения ее с осью Oz и кривой L соответственно через O₁ и N. Обозначим координаты точки N через (0; у₁; z₁).Отрезки O₁М и O₁N являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O₁М = O₁N. НоO₁М = , O₁N = |y₁|. Следовательно, |y₁| = или у₁ = ± . Кроме того, очевидно, z₁ = z.

Так как точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (12.22). Стало быть, F(y₁;z₁) = 0. Исключая вспомогательные координаты у₁ и z₁ точки N, приходим к уравнению

F(± ;z)=0 (12.23)

Уравнение (12.23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.

Как видно, уравнение (12.23) получается из (12.22) простой заменой у на ± , координата z сохраняется.

Понятно, что если кривая (12.22) вращается вокруг оси Оу, то уравнение поверхности вращения имеет вид

F(y;± )=0;

если кривая лежит в плоскости Оху (z = 0) и ее уравнение F(x; у) = 0, то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси Ох, есть F(x;± )=0.

Рис. 89.

Так, например, вращая прямую у = z вокруг оси Oz (см. рис. 89), получим поверхность вращения (ее уравнение ± = z или х² + у² = z²). Она называется конусом второго порядка.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется направляющейконуса, точка Р — ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.

Пусть направляющая L задана уравнениями

(12.24)

а точка P(x₀;y₀;z₀) — вершина конуса. Найдем уравнение конуса.

Возьмем на поверхности конуса произвольную точку M(x;y;z) (см. рис. 90). Образующая, проходящая через точки Р и M, пересечет направляющую L в некоторой точке N(x₁;y₁;z₁). Координаты точки N удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей:

(12.25)

Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Р и N, имеют вид

(12.26)

Исключая х₁, y₁ и z₁ из уравнений (12.25) и (12.26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты х, у и z.

Рис. 90.

Пример 12.3. Составить уравнение конуса с вершиной в точке О(0; 0; 0), если направляющей служит эллипс , лежащий в плоскости z = с.

Решение: Пусть М(х;у; z) — любая точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки (0;0;0) и точку (x₁;y₁;z₁) пересечения образующей ОМ с эллипсом будут . Исключим x₁;y₁;z₁ из этих уравнений и уравнения

(12.27)

(точка (x₁;y₁;z₁) лежит на эллипсе), z₁ = с. Имеем: , . Отсюда x₁ = с и y₁ = с . Подставляя значения x₁ и y₁ в уравнение эллипса (12.27), получим

или

Это и есть искомое уравнение конуса.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

По заданному уравнению поверхности второго порядка (т. е. поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒