Уравнение сферы

Уравнение сферы

Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке O₁(x₀;y₀;z₀). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от центра O₁(x₀;y₀;z₀) равно радиусу R, т. е. О₁М = R. Но О₁М = где = (х – х₀; у – у₀; z – z₀). Следовательно,

или

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы О₁ совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид х² + у² + z² = R².

Если же дано уравнение вида F(x;y;z) = 0, то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.

Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x;y:z) = 0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».

Так, уравнению 2х² + у² + z² + 1 = 0 не удовлетворяют никакие действительные значения х, у, z. Уравнению 0• х² + у² + z² = 0 удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у = 0, z = 0, а х — любое число).

Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:

1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.

2. Дано уравнение F(x; у; z) = 0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.

Цилиндрические поверхности

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цилиндрической поверхностьюили цилиндром. При этом кривая К называется направляющейцилиндра, а прямая L — его образующей(см. рис. 83).

Рис. 83.

Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия К, уравнение которой

F(x;y)=0. (12.21)

Построим цилиндр с образующими параллельными оси Oz и направляющей К.

12 3 4 5 6 Следующая ⇒