1.2 Теоремалардың өзара байланысы

Теореманың ішінде шарты жә не қ орытындысы болады. Шартынан не берілгенін, ал қ орытындысынан не дә лелдеу керек екенін білуге болады. Теорема «егер» деген сө збен басталса, «онда» деген сө зге дейінгі – оның шарты, ал онда деген сө зден аяғ ына дейінгі – қ орытындысы. Бірақ кейбір теоремалардың шарты мен қ орытындысын оқ ушылар айыра алмайды. Мұ ндай жағ дайда оқ ушыларғ а мұ ғ алім кө мектесіп ү йретуі керек. Мысалы: «Сыбайлас бұ рыштардың қ осындысын табың дар». Оқ ушылар транспортирмен бұ рыштарды ө лшеп, қ осындысы 1800 болатынын табады да, «Сыбайлас бұ рыштардың қ осындысы 1800 болады» деген теореманы ө здері айтады.

Бұ л кө рнекі - белсенділік ә дістің бір жақ сысы оқ ушылар ө здігінен белсенді жұ мыс істейді, есептер шығ аруды ү йренеді. Сө йтіп, оқ ушыларды теоремамен таныстырғ анда неғ ұ рлым олар саналы жә не белсенді қ атынасатын болса, соғ ұ рлым теорема жә не оның ілгерідегі дә лелдеуі оларғ а тү сінікті болады. Теореманы оқ ушылардың бұ рыннан білетін материалдарына сү йеніп, оларды негізге ала отырып логикалық жолмен дә лелдейтініміз белгілі.

Дә лелдеу процесінде қ арастырылып отырғ ан теорема мен ө тілген теоремалар арасындағ ы логикалық байланысты кө рсету ү шін бір – екі теорема алып, олар «бұ рынғ ы» қ андай теоремалар арқ ылы дә лелдейтінін схема сызып тү сіндірген жө н. Мұ ғ алім ә рбір келесі теореманы дә лелдеу ү шін қ андай ө ткен материалдарды қ айталап келуді дер кезінде оқ ушыларғ а тапсырып отырғ аны жө н.

Егер тапсырма алдын ала берілмеген болса, онда мұ ғ алім теореманы дә лелдеу процесінің қ ай жерінде ө тілген қ андай материалдың, қ алай қ олданылып жатқ анын толық тү сіндіруі қ ажет жә не кейін сол теореманы қ айталағ анда оқ ушылардың ө ткен материалдарды қ алай пайдалана білетінін тексеру керек.

Оқ ушыларғ а теореманы дә лелдей білуді ү йрету ү шін мұ ғ алім алғ ашқ ы теоремадан бастап тө мендегідей жұ мыстар жү ргізу керек:

v оқ ушыларды ө з бетімен жұ мыс істеуге ү йрету;

v ә уелгі кезде оқ ушылардың интуициясын, ө мірде кө рген білгендерін, кө рнекіліктерді кең тү рде пайдаланып, біртіндеп логикалық дә лелдеуді ү йрете беру;

v теоремалардың ө мірде қ олданылатын орындарын кө рсетіп, практикалық жұ мыстар жү ргізу;

v теореманы қ олданып шешілетін есептер арқ ылы оқ ушыларды пә нге қ ызық тыру.

Ә рбір теорема ө зінің шартын (Р) жә не қ орытындысын (Q) қ амтиды. Мә селен, «Вертикаль бұ рыштар тең » теоремасында «Вертикаль бұ рыштар» - шарты, ал «тең » қ орытындысы. Осы теоремағ а «егер... , онда... » тіркестерін пайдаланып, тұ жырымын басқ аша, келісімді (силлогизм) тү рде беруге болады, яғ ни «Егер бұ рыштар вертикаль болса, онда олар тең болады». Бұ л тұ жырымның ерекшелігі, теореманың шарты (егер... ) мен қ орытындысы (онда... ) бір–бірінен ерекшеленіп тұ рады. Кейбір жағ дайларда теореманы «Егер..., онда... » тіркестерінсіз тұ жырымдауғ а болады. Мұ ндай тұ жырымдарды кесімді тұ жырымдау дейді. Кесімді тұ жырымдау ә детте қ ысқ а, ың ғ айлы болып келеді. Теореманың тұ жырымын логикалық тілде былай жазады: Р (шарт) ⇒ Q (қ орытынды).

Сондай–ақ мысалдағ ы қ арама–қ арсы теорема да жалғ ан, ө йткені тіктө ртбұ рыш тең бү йірлі трапеция бола алмайды, бірақ оның диагональдары тең. Ал кері теоремағ а қ арама – қ арсы теорема ә рдайым тура теоремамен мә ндес болады. Осы сияқ ты, кері теорема мен қ арама–қ арсы теорема да мә ндес болады. Кері жә не қ арама – қ арсытеоремаларды дә лелдеудің маң ызы зор. Сондай–ақ олардың дә лелдеуін игерудің мә ні ерекше. Біз кері теореманы дә лелдеудің ә р - тү рлі ә дістеріне мысалдар келтірейік.

ü Тура теорема. Егер шең бердің екі хордасы тең болса, онда олар керетін доғ алары да тең болады.

ü Кері теорема. Егер шең бердің екі доғ асы тең болса, онда олар керетін хордалары да тең болады.

Теорема (қ арама-қ арсы). Егер шең бердің екі хордасы тең болмаса, онда олар керетін доғ алар да тең болмайды.

Дә лелдеу. Теореманың шарты бойынша АВ СD. Сондық тан АВ СD₁ болатындай D₁ нү ктесін салайық.

Онда алдың ғ ы теорема бойынша AmB CnD₁, сонда мынадай екі жағ дай болуы мү мкін:

Ø АВ СD болса, онда AmB CnD,

Ø АВ СD болса, онда AmB CnD.

Олай болса, AmB CnD. Дә лелдейтініміз осы еді.

Қ арсы жору ә дісі теоремаларды дә лелдеуге жиі қ олданылатындық тан, оны кейінірек мү мкіндігінше жете қ арастырамыз. Теореманы дә лелдеудің бұ л ә дісі ү ш сатыдан тұ рады:

§ Теореманы дә лелдегенде оның қ орытындысын бекерге шығ арамыз, яғ ни дә лелдеуді талап ететін байламдарғ а қ арсы ұ йғ арамыз (біздің мысалда доғ аларды керетін хордалар тең емес).

§ Қ абылданғ ан ұ йғ аруғ а байланысты логикалық дұ рыс ой қ орытулар жасай отырып, соң ында қ айшылық қ а келеміз (мысалда кесінді ө зінің бө лігіне тең ).

§ Логикалық дұ рыс талдау жасағ анмен қ айшылық қ а келеміз, олай болса, біздің ұ йғ аруымыз дұ рыс емес деп байлам жасаймыз. Демек, дә лелдеуді талап еткен қ орытынды дұ рыс (яғ ни, мысалда АВ СD деуіміз жалғ ан, олай болса АВ СD ).

Ә р тү рлі ғ ылымдардағ ы дә лелдеу де тү рліше жү ргізіледі. Ә рбір ғ ылымдағ ы негіздейтін ойдың мазмұ ны да тү рлі – тү рлі. Дә лелдеулердің барлығ ына ортақ жә не бірдей, оның нақ тылы мазмұ нына тә уелсіз жалпы ережелерін логика қ орытынды шығ ару туралы ғ ылым, яғ ни бұ рыннан белгілі жә не тексерілген білімдер негізінде, ешқ андай тә жірибеге сү йенбестен тек ойлау заң дары мен ережелеріне сү йеніп жаң а білімдер алу жолы. Фолмальды логика мен математикалық дә лелдеу арасында қ ұ састық бар. Математикалық дә лелдеулерге эмпирикалық жолмен дұ рыстығ ын кө рсетуді қ олданцғ а болмайды. Академик Ә. Нысанбаев атап кө рсеткендей: «Математиканың жаратылыстанудан басты айырмашылығ ы, оның логикалық, дедуктивтік сипатына. Дә лелдеу математикалық ә дістің жү регі болып табылады».

Кез келген дә лелдеу ү ш қ ұ рамды бө ліктерден тұ рады: тезис, дә лел жә не демонстрациялау. Дә лел тезисі деп дә лелдеуді қ ажет ететін пайымды айтады. Дә лел (негіздеме, аргумент) – тезистің ақ иқ аттығ ын немесе жалғ андығ ын немесе дә лелденген пайым. Демонстрациялау – дә лелдеудің негізінде тезистің дұ рыстығ ы (немесе жалғ андығ ы) туралы қ орытынды шығ арылатын логикалық пайымдау.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒