Зерттеу жұмысының әдістері.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

Зерттеу жұ мысының ә дістері.

1. Педагогикалық -психологиялық, математикадан ә дебиеттерге, оқ улық тарғ а, ә дiстемелiк материалдарғ а талдау.

2. Педагогикалық бақ ылау.

3. Педагогикалық эксперимент.

4. Озат ұ стаздар тә жiрибесiн талдау.

1 ТЕОРЕМЕЛАР, ОЛАРДЫҢ ТҮ РЛЕРІ

1. 1 Теорремалар жә не олардың тү рлері

Теорема ұ ғ ымын қ атаң тү рде анық тау тек формальды теорияларда кездеседі. Мектеп математика курсы сияқ ты формальді емес теорияларда теорема ұ ғ ымына тек тү сініктеме беріледі: қ исында пайымдаулар арқ ылы дұ рыс немесе бұ рыстығ ы дә лелдеу нә тижесінде белгілі болатын пайым (сө йлем) теорема, деп аталады. Теорема – грек сө зі, ол: «кө з жеткіземін», «ойлап кө ремін» деген мағ ыналарды білдіреді. Теорема деп - ақ иқ аттығ ы дә лелдеу арқ ылы тағ айындалатын математикалық сө йлемді айтады.

Теореманың тү рлері: келісімді теорема (мысалы: «Вертикаль бү рыштар тең »); шартты теорема ( «егер..., онда... »).

Теореманың бө ліктері:

1) теореманың шарты;

2) теореманың қ орытындысы;

3) теореманың тү сінік беру бө лігі.

Бұ рын дә лелденген теоремалардан тікелей шығ атын кейбір теоремалардысалдарлар, деп атайды.

Салыстырмалы тү рде, дә лелдемесі қ ысқ а, ө з алдына дербес мә нге ие болмайтын жә не басқ а теоремаларды дә лелдеу ү шін пайымдалатын теоремаларды лемма деп атайды. Лемма – грек сө зі, «табыс» деген мағ ынада.

Ә рбір теорема ө зінің шартын (Р) жә не қ орытындысын (Q) қ амтиды. Мә селен, «Вертикаль бұ рыштар тең » теоремасында «Вертикаль бұ рыштар» - шарты, ал «тең » қ орытындысы. Осы теоремағ а «егер... , онда... » тіркестерін пайдаланып, тұ жырымын басқ аша, келісімді (силлогизм) тү рде беруге болады, яғ ни «Егер бұ рыштар вертикаль болса, онда олар тең болады». Бұ л тұ жырымның ерекшелігі, теореманың шарты (егер... ) мен қ орытындысы (онда... ) бір–бірінен ерекшеленіп тұ рады. Кейбір жағ дайларда теореманы «Егер..., онда... » тіркестерінсіз тұ жырымдауғ а болады. Мұ ндай тұ жырымдарды кесімді тұ жырымдау дейді. Кесімді тұ жырымдау ә детте қ ысқ а, ың ғ айлы болып келеді. Теореманың тұ жырымын логикалық тілде былай жазады: Р (шарт) ⇒ Q (қ орытынды).

Ал теореманы дә лелдеу дегеніміз Р шартты ақ иқ ат деп алып, Q қ орытындының ақ иқ аттығ ын логикалық жолмен кө рсету.

Теоремалар тура, кері, қ арама - қ арсы жә не кері теоремағ а қ арама – қ арсы теорема тү рінде кездеседі. Алғ ашқ ы теореманы тура теорема (Р ↔ Q) деп алсаң, онда берілген теоремағ а кері теорема деп тура теореманың шартын қ орытындысымен, ал қ орытындысын шартымен ауыстырудан шық қ ан теореманы айтамыз ( ⇒ ).

Тура теоремағ а қ арама–қ арсы теорема деп оның шарты мен қ орытындысын тікелей бекерге шығ арудан алынғ ан теорема (P ⇒ Q).

Қ арама–қ арсы теоремағ а кері теорема деп оның шарты мен қ орытындысын бекерге шығ арудан алынғ ан теореманы айтамыз ( Q⇒ P).

Жалпы алғ анда, тура теорема дұ рыс болғ анда, оғ ан кері теорема мен қ арама–қ арсы теорема ә рдайым дұ рыс бола бермейді. Келтірілген мысалда тура теорема дұ рыс та, кері теорема жалғ ан. Шынында, тік тө ртбұ рыштың диагональдары тең. Бірақ ол тең бү йірлі трапеция емес.

Сондай–ақ мысалдағ ы қ арама–қ арсы теорема да жалғ ан, ө йткені тіктө ртбұ рыш тең бү йірлі трапеция бола алмайды, бірақ оның диагональдары тең. Ал кері теоремағ а қ арама – қ арсы теорема ә рдайым тура теоремамен мә ндес болады. Осы сияқ ты, кері теорема мен қ арама–қ арсы теорема да мә ндес болады. Кері жә не қ арама – қ арсытеоремаларды дә лелдеудің маң ызы зор. Сондай–ақ олардың дә лелдеуін игерудің мә ні ерекше. Біз кері теореманы дә лелдеудің ә р - тү рлі ә дістеріне мысалдар келтірейік.

Тура теорема. Егер шең бердің екі хордасы тең болса, онда олар керетін доғ алары да тең болады.

Кері теорема. Егер шең бердің екі доғ асы тең болса, онда олар керетін хордалары да тең болады.

Дә лелдеудің бірінші тә сілі –кері теореманы тура дә лелдеу.

Берілгені. AmB CnD (1сурет).

(1-сурет)

Дә лелдеу керек: AB CD.

Дә лелдеу. AmB CnD болғ андық тан, АВ доғ асын СD доғ асына бейнелейтін етіп кө шіргенде, А жә не В нү ктелері сә йкес Q жә не Р нү ктелеріне бейнеленеді жә не ОА OB OC OD екенін еске алсақ, онда АОВ COD. Демек, АВ CD.

Дә лелдеудің екінші тә сілі – қ арсы жору.

АВ CD (1)

деп ұ йғ арамыз. Олай болса,

AB CD₁ (2)

болатындай D1 нү ктесін салайық. Ал тура теоремадан

AB CD (3)

(2) жә не (3) тең діктерден СD CD₁, яғ ни СD нү ктесі ө зінің CD1 бө лігіне тең, бірақ бұ лай болуы мү мкін емес. Сонымен, біз қ айшылық қ а келдік. Демек, АВ CD деп ұ йғ аруымыз дұ рыс емес. Ендеше, АВ CD.

Енді кері теореманы дә лелдеудің ү шінші тә сілін қ арастырайық. Бұ л тә сілде кері теоремамен мә ндес қ арама - қ арсы теореманы, яғ ни (Q⇒ P) ↔ ( ↔ ) пайдаланамыз. Екі теореманың да дұ рыстығ ына кө з жеткізу ү шін олардың біреуін дә лелдеу жеткілікті. Біз қ арама-қ арсы теореманы дә лелдейік.

Теорема (қ арама-қ арсы). Егер шең бердің екі хордасы тең болмаса, онда олар керетін доғ алар да тең болмайды.

Дә лелдеу. Теореманың шарты бойынша АВ СD. Сондық тан АВ СD₁ болатындай D₁ нү ктесін салайық. Онда алдың ғ ы теорема бойынша AmB CnD₁, сонда мынадай екі жағ дай болуы мү мкін:

1) АВ СD болса, онда AmB CnD,

2) АВ СD болса, онда AmB CnD.

Олай болса, AmB CnD. Дә лелдейтініміз осы еді.

Қ арсы жору ә дісі теоремаларды дә лелдеуге жиі қ олданылатындық тан, оны кейінірек мү мкіндігінше жете қ арастырамыз. Теореманы дә лелдеудің бұ л ә дісі ү ш сатыдан тұ рады:

1. Теореманы дә лелдегенде оның қ орытындысын бекерге шығ арамыз, яғ ни дә лелдеуді талап ететін байламдарғ а қ арсы ұ йғ арамыз (біздің мысалда доғ аларды керетін хордалар тең емес).

2. Қ абылданғ ан ұ йғ аруғ а байланысты логикалық дұ рыс ой қ орытулар жасай отырып, соң ында қ айшылық қ а келеміз (мысалда кесінді ө зінің бө лігіне тең ).

3. Логикалық дұ рыс талдау жасағ анмен қ айшылық қ а келеміз, олай болса, біздің ұ йғ аруымыз дұ рыс емес деп байлам жасаймыз. Демек, дә лелдеуді талап еткен қ орытынды дұ рыс (яғ ни, мысалда АВ СD деуіміз жалғ ан, олай болса АВ СD ).

Теоремаларды дә лелдегенде оқ ушыларды дә лелдеу ә дістеріне тө сілдіріп, оны есеп шығ арғ анда, басқ а пә ндерді оқ ығ анда, ойлану ү рдісіне пайдалануғ а ү йрету мақ сатын кө здейміз. Олай болса, мұ ғ алім оқ ушыларғ а теоремаларды дә лелдеуді ү йретуге кө ң іл бө луі керек. «Дә лелдеу дегеніміз ақ иқ ат пайымдауларғ а негізделген ой қ орыту жә не болжамдарғ а сү йеніп дә лелдемелік пайымдаулар» деген болатын Платон.

Теореманың ішінде шарты жә не қ орытындысы болады. Шартынан не берілгенін, ал қ орытындысынан не дә лелдеу керек екенін білуге болады. Теорема «егер» деген сө збен басталса, «онда» деген сө зге дейінгі – оның шарты, ал онда деген сө зден аяғ ына дейінгі – қ орытындысы. Бірақ кейбір теоремалардың шарты мен қ орытындысын оқ ушылар айыра алмайды. Мұ ндай жағ дайда оқ ушыларғ а мұ ғ алім кө мектесіп ү йретуі керек. Мысалы: «Сыбайлас бұ рыштардың қ осындысын табың дар». Оқ ушылар транспортирмен бұ рыштарды ө лшеп, қ осындысы 1800 болатынын табады да, «Сыбайлас бұ рыштардың қ осындысы 1800 болады» деген теореманы ө здері айтады. Бұ л кө рнекі - белсенділік ә дістің бір жақ сысы оқ ушылар ө здігінен белсенді жұ мыс істейді, есептер шығ аруды ү йренеді. Сө йтіп, оқ ушыларды теоремамен таныстырғ анда неғ ұ рлым олар саналы жә не белсенді қ атынасатын болса, соғ ұ рлым теорема жә не оның ілгерідегі дә лелдеуі оларғ а тү сінікті болады. Теореманы оқ ушылардың бұ рыннан білетін материалдарына сү йеніп, оларды негізге ала отырып логикалық жолмен дә лелдейтініміз белгілі.

Дә лелдеу процесінде қ арастырылып отырғ ан теорема мен ө тілген теоремалар арасындағ ы логикалық байланысты кө рсету ү шін бір–екі теорема алып, олар «бұ рынғ ы» қ андай теоремалар арқ ылы дә лелдейтінін схема сызып тү сіндірген жө н. Мұ ғ алім ә рбір келесі теореманы дә лелдеу ү шін қ андай ө ткен материалдарды қ айталап келуді дер кезінде оқ ушыларғ а тапсырып отырғ аны жө н. Егер тапсырма алдын ала берілмеген болса, онда мұ ғ алім теореманы дә лелдеу процесінің қ ай жерінде ө тілген қ андай материалдың, қ алай қ олданылып жатқ анын толық тү сіндіруі қ ажет жә не кейін сол теореманы қ айталағ анда оқ ушылардың ө ткен материалдарды қ алай пайдалана білетінін тексеру керек.

Оқ ушыларғ а теореманы дә лелдей білуді ү йрету ү шін мұ ғ алім алғ ашқ ы теоремадан бастап тө мендегідей жұ мыстар жү ргізу керек:

а) оқ ушыларды ө з бетімен жұ мыс істеуге ү йрету;

ә ) ә уелгі кезде оқ ушылардың интуициясын, ө мірде кө рген білгендерін, кө рнекіліктерді кең тү рде пайдаланып, біртіндеп логикалық дә лелдеуді ү йрете беру;

б) теоремалардың ө мірде қ олданылатын орындарын кө рсетіп, практикалық жұ мыстар жү ргізу;

в) теореманы қ олданып шешілетін есептер арқ ылы оқ ушыларды пә нге қ ызық тыру.

Оқ ушылардың ойлауын ү збей жү йелі тү рде баяндап беру тә жірибесі жә не ә рбір айтылғ ан ойын толық дә лелдеп берерліктей дағ дысы болмағ андық тан теореманы дә лелдеу алғ ашқ ы кездері қ иынғ а тү седі. Теореманы дә лелдеу ү рдісінде ә рбір сө зге мә н беру керек. Теореманы логикалық жолмен дә лелдегенде белгісізден бастап белгіліге қ арай кө шеміз, мұ нда ә рбір қ адам жасауғ а толық дә лел келтіріледі жә не ол сапалы тү рде орындалады.

Синтез ә дісімен теореманы дә лелдегенде біртіндеп белгіліден белгісізге кө шеміз, элементар геометрияда теоремалардың кө пшілігі осылайша дә лелденеді.

Теореманы қ арсы жорып дә лелдеу ә дісі. Қ арсы жорып дә лелдеу ә дісі математикада қ олданылады, сондық тан оғ ан VI сыныптан бастап ү йрету керек. Бұ л ә дісті қ олданып теорема дә лелдегенде оқ ушыларғ а мынадай қ иыншылық тар кездеседі:

а) белгілі дә лелдерді пайдалана отырып тура жолмен дә лелдеуге ү йренген оқ ушыларғ а, қ арсы жорып дә лелдеу тү сініксіз болады;

б) кө збе – кө з дұ рыс емес деп (ә сіресе сызба теріс сызылғ анда) ұ йғ арудың қ андай қ ажеттігі бар екендігі оқ ушыларғ а тү сініксіз болады.

Мысалы, бір тү зуге жү ргізілген екі перпендикуляр туралы теореманы дә лелдегенде бір мұ ғ алім, сызба жө нінде еш нә рсе айтпай «бір тү зуге жү ргізілген екі перпендикуляр бір Р нү ктесінде қ иылысады екен дейік», - деп тақ тағ а екі перпендикулярды Р нү ктесінде қ иылыстырып сызғ ан. «Р нү ктесінен тү зуге неше перпендикуляр тү сіріледі? » дегенде кей балалар «тө ртеу», кейбіреулері «Р нү ктесінен бір де бір перпендикуляр тү сірілген жоқ » деп жауап берген. Бұ л сызбаның нені кескіндейтінін оқ ушылардың тү сінбейтіндігі. Істелінетін істің, керісінше, теріс жақ тарын байқ ап қ арап, содан кейін қ орытынды жасау ө мірде де кө п кездеседі.

Сондық тан мұ ғ алім ө мір тә жірибесінен мысалдар келтіруіне болады. Бұ л ә дістің бір жақ сылығ ы дә лелдегенде қ орытындының дұ рыс жағ ымен қ атар, оның бірнеше қ ате жақ тарымен танысуғ а мү мкіншілік болады. Теореманы беттестіру тә сілімен дә лелдеу былайша қ арағ анда оң ай сияқ танғ анымен бұ л тә сілді оқ ушылар кө біне дұ рыс тү сінбейді.

Мысалы, беттестіру арқ ылы ү шбұ рыштардың тең дігін дә лелдегенде, оқ ушылар ү шбұ рыштар беттестірілсе, олардың тең дігі содан келіп шығ атынын біліп, беттестіруге тырысудың орнына, олар ү шбұ рыштар тең болса болғ аны ө зінен-ө зі беттеседі деп тү сінеді. Егер дә лелдеу процесінде кө рнекті қ ұ рал ретінде қ ағ аздан немесе картоннан жасалғ ан тең екі ү шбұ рышты қ олдансақ, онда олар оқ ушылардың ойлағ анындай бірімен–бірі беттесе кетеді де беттестіру тә сілінің қ ыр – сыры оқ ушыларғ а байқ алмайды. Сондық тан дә лелдегенде екі ү шбұ рыш алып, мынандай жағ дайларды қ арастырғ ан жө н:

а) қ абырғ алары да, бұ рыштары да тең емес кез – келген екі ү шбұ рыш аламыз. Ү шбұ рыштардың ешбір тең элементтері болмаса да, олардың бір тө белері мен қ абырғ аларын бірінің ү стіне бірі келетіндей етіп беттестіруге болады, бірақ ү шбұ рыштардың басқ а элементтерінің біріне–бірінің дә л келмеуі бізге байланысты емес;

б) егер екі ү шбұ рыштың біреуінің бір қ абырғ асы мен іргелес бір бұ рышы, екіншісінің сә йкес бір қ абырғ асы мен іргелес бір бұ рышына тең болса, онда сол тең бұ рыштарды жасайтын сә йкес екінші қ абырғ алары, тең болмаса да, ү шбұ рыштарды беттестіргенде бірінің бойына бірі келеді, бірақ ү шінші сә йкес тө белері бір – біріне дә л келмейді.

Сө йтіп, ү шбұ рыштарғ а беттестіру тә сілін қ олданғ анда олардың сә йкес қ абырғ аларының бірі екіншісінің бойына келуі бұ рыштарғ а, ал олардың тө белерінің біріне–бірінің дә л келуі қ абырғ алардың ұ зындық тарына байланысты екендігін, кө рнекі қ ұ ралдар арқ ылы оқ ушыларғ а жақ сы тү сіндіру керек.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒