![]()
|
|||||||
Задача 1.6Задача 1.6 Стальная шаровая оболочка с внутренним радиусом 6 см и внешним радиусом 10 см находится в стационарном тепловом состоянии. Температура на внутренней ее поверхности равна 200 ºС. Найти температуру на расстоянии r от центра и количество теплоты, которое в 1 с шар отдает наружу при теплопроводности k=0,14. На основании симметрии шара можно считать, что теплота в шаре распространяется радиально. На расстоянии r от центра площадь передачи тепла равна площади поверхности сферы, т. е. Поскольку между сферическими плоскостями количество тепла остается неизменным, так как через две любые поверхности протекает одно и тоже количество теплоты, то скорость, с которой теплота распределяется через площадь F описывается выражением законом Фурье (рисунок 1.3).
где T — температура тела; k — коэффициент теплопроводности. С учетом выражения для F уравнение (1.39) принимает вид
Разделяя переменные (1.40), имеем
Интегрируя (1.41)
(знак «–» опущен, так как он показывает потерю тепла).
Рисунок 1.3 — Схема теплопроводности в сферической оболочке к решению задачи 1.6 Для отыскания частного решения уравнения (1.42) подставим в него начальные условия:
Решим данную систему уравнений и найдем с и Q. Из 1-го уравнения системы находим постоянную интегрирования (1.43)
Подставив (1.44) во 2-ое уравнение системы (1.43), получим:
Подставив (1.45) в 1-е уравнение (1.43), получим:
Подставляя (1.45) и (1.46) в (1.42), находим решение задачи
отсюда
|
|||||||
|