Гомоморфизм и изоморфизм групп.

Примеры.

1) (Z, +) − циклическая группа с образующим элементом 1.

2) Группа корней n-ой степени из 1 − циклическая мультипликативная группа с образующим элементом, получаем по формуле (11) из § 1 при

6°.Гомоморфизм и изоморфизм групп.

Определение 18. Пусть и − множества, и − бинарные операции (на и соответственно). Гомоморфизмом из в называется отображение такое, что

Пример. Отображение является гомоморфизмом из (R, +) в (R, ). Это следует из справедливости равенства

Замечания.

1. Аналогично определяется понятие гомоморфизма, если на множествах и определены несколько операций.

2. Так как полугруппа, группа, кольцо и так далее являются множествами с операциями, то очевидно, как определяются понятия гомоморфизма полугрупп, групп и так далее.

Определение 19.Изоморфизм − это биективный гомоморфизм.

Определение 20. Говорят, что пара изоморфна паре , если изоморфизм из в .

Обозначение. означает, что изоморфно . Иногда пишут .

Примеры.

1) Отображение является изоморфизмом из (R; +) в (R_>0; ). Действительно, это отображение является гомоморфизмом (см. предыдущий пример) и биективным отображением (в силу свойств экспоненциальной функции).

2) В начале §1 комплексные числа определялись как пары действительных чисел. Множество пар вида отождествлялись с множеством действительных чисел R. Это возможно в силу изоморфизма этих двух множеств.