Свойства группы.. Кольцо, свойства кольца.. Примеры колец.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

Свойства группы.

1) В группе G нейтральный элемент и симметричный элемент.

Доказательство следует из теорем 1 и 2.

2) Для уравнения имеют единственное решение:

, .

Доказательство. Покажем, что – решение уравнения . Имеем: , то есть − решение.

Если – другое решение, то после умножения слева на – единственное решение. Аналогично для другого уравнения.

3) Закон сокращения в группе. Если .

Доказательство следует из свойства 2).

3°. Кольцо, свойства кольца.

В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями.

Определение 9. Непустое множество K называется кольцом и обозначается (K ), если выполняются условия:

1) (K, +) – абелева группа;

2) умножение ассоциативно, то есть ;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть

, .

Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет!), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.

Примеры колец.

1. (Z; +, ), (Q; +, ), (R; +, ) образуют коммутативные кольца с единицей относительно обычных операций сложения и умножения.

2. Множество {0}, содержащее лишь одно число 0, образует кольцо, называемое нулевым кольцом.

3. Множество непрерывных на отрезке функций с операциями + и , определенными следующим образом:

, ,

образует коммутативное кольцо с единицей.

4. Множество V₃ всех векторов пространства относительно операций сложения векторов и векторного произведения векторов не образует кольцо.

5. Рассмотрим пространство битовых строк (последовательностей длины , состоящих из нулей и единиц), относительно операций (исключающее «или») и (логическое умножение), которые задаются таблицами:


0

Например, (1010) (0110)=(1100); (1010) (0110)=(0010).

Операции и − алгебраические, нейтральный элемент – нулевая битовая строка (0…0). Для каждой битовой строки противоположным элементом является эта же битовая строка. Доказательство коммутативности, ассоциативности операций и и дистрибутивность логического умножения относительно операции сводятся к доказательству этих свойств для битовых строк длиной 1, которое проводится прямыми вычислениями. Таким образом, пространство битовых строк с операциями , является кольцом, которое обозначается . Это кольцо является коммутативным кольцом с единицей.

Так как ( ;+) абелева группа, то противоположный элемент . Поэтому в К можно ввести операцию вычитания: .В силу свойства группы единственное решение уравнения .

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒