Свойства поля.. Подполугруппа, подгруппа.
Свойства поля.
1) В поле Р нет делителей нуля.
Доказательство. Пусть Умножим на : .
С другой стороны, 
2) Свойство сокращения на ненулевой элемент: из 
3) , уравнение в поле P имеет единственное решение .
Доказательство. При доказываемое свойство – это свойство группы, при − свойство кольца.
Решение уравнения обозначается и называется частным от деления на . Таким образом, в поле определено деление на ненулевой элемент.
Вывод. В произвольном поле можно проводить все операции, как в обычной арифметике: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевой элемент, раскрытие скобок, приведение подобных, … .
Итак, алгебраические структуры – это множества с алгебраическими операциями. Дальнейшее обобщение – алгебраические системы, являющиеся совокупностью множества, алгебраических операций и отношений. Эти системы изучаются на стыке алгебры и математической логики.
5°. Подполугруппа, подгруппа.
Пусть − бинарная алгебраическая операция на .
Определение 11. Подмножество называется замкнутым относительно , если выполняется 
Если подмножество множества замкнуто относительно , то на определена операция: каждой паре ставится в соответствие 
Определение 12. Такая операция на называется операцией, индуцированной операцией .
Утверждение 3.Пусть − полугруппа и замкнуто относительно Тогда является полугруппой относительно индуцированной операции.
Доказательство.Длядоказательства леммы достаточно показать, что операция ассоциативна на множестве Это очевидно, так как все элементы являются элементами , а на введенная операция ассоциативна.■
Определение 13.Пусть − полугруппа. Подмножество , замкнутое относительно , называется подполугруппой.
Пример. (Z )− полугруппа (и даже группа), а (N ) − подполугруппа (но не группа).
Определение 14.Пусть пара ( ) – группа. называется подгруппой, если X замкнуто относительно , и X − группа относительно индуцированной операции.
Определение 15. Пусть тройка (P;+, ) − кольцо (поле). Подмножество называется подкольцом (подполем), если Y замкнуто относительно + и и Y является кольцом (полем).
Пример. (Q; +, ) −подполе в поле(R; +, ).
Теорема 5.Пусть ( ) – группа. является подгруппой в
1) X замкнуто относительно ;
2) , где − нейтральный элемент в ;
3) существует .
Доказательство.Достаточность − очевидна.
Необходимость. Пусть − подгруппа в . Тогда условие 1) выполнено по определению подгруппы.
Проверим условие 2). Так как − подгруппа, то − нейтральный элемент в . Докажем, что , то есть совпадает с нейтральным элементом в . Действительно, умножим равенство на (симметричный элемент к в смысле , то есть ). С одной стороны имеем: , с другой − . Отсюда следует, что .
Осталось проверить 3). Пусть . Тогда , являющийся симметричным в , то есть . Это и означает выполнение условия 3).■
Аналогичные теоремы доказываются для подколец и подполей.
Теорема 6. Если в группе взяты две подгруппы и , то их пересечение , то есть совокупность элементов, лежащих одновременно в обоих множествах, также будет подгруппой группы .
Доказательство. Действительно, если в пересечении содержатся элементы и , то они лежат в подгруппе , а потому в лежат и произведение , и симметричный элемент . По тем же соображениям элементы и принадлежат подгруппе , а потому они входят и в .■
Интересный пример подгруппы − циклические подгруппы. Вначале введем некоторые понятия. Если − элемент группы , то n-ой степенью элемента называется произведение n элементов, равных . Отрицательные степени элемента вводятся как произведения сомножителей, равных . Легко видеть, что . Для доказательства достаточно взять произведение сомножителей, из которых первые равны , а остальные − , и произвести все сокращения. Под нулевой степенью элемента будем понимать нейтральный элемент. В силу обобщенной ассоциативности легко показать, что Z имеют место равенства:
| (3)
| Обозначим подмножество группы , состоящее из всех степеней элемента .
Утверждение 4. Множество является подгруппой группы .
Доказательствоочевидно.
Определение 16. Подгруппа называется циклической подгруппой группы .
Легко видеть, что циклическая подгруппа всегда коммутативна, даже если сама группа некоммутативна. Если все степени элемента являются различными элементами, то называется элементом бесконечного порядка. Если существуют и из N, такие, что , то называется элементом конечного порядка. Легко видеть, что в этом случае . Наименьшее N такое, что называется порядком элемента .
Определение 17. Группа называется циклической группой, если она состоит из степеней одного из своих элементов , то есть совпадает с одной из своих циклических подгрупп . Элемент в этом случае называется образующим элементом группы .
|