Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Свойства кольца.. Примеры полей.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒


Свойства кольца.

1) Умножение дистрибутивно относительно вычитания, то есть

.

Доказательство.

.

2) .

Доказательство. Так как . Аналогично доказывается, что .

     Утверждение, обратное свойству 2), неверно. А именно, существуют кольца, в которых произведение двух ненулевых элементов равно нулю, то есть  но . Такие кольца называются кольцами с делителями нуля. Например, множество  непрерывных функций – кольцо с делителями нуля. Действительно, если , .

     Аналогично,  − множество матриц размера  − кольцо с делителями нуля.

3) Если − отличный от нуля элемент из , не являющийся делителем нуля, и

 (закон сокращения в кольце). Аналогично,

 Доказательство.

4)

 Доказательство.


4°. Поле, свойства поля.

Пусть P – множество, содержащие не менее двух элементов.

Определение 10. Множество  с заданными на нём алгебраическими операциями сложения + и умножения  называется полем и обозначается ( ), если:

1) (P;+) – абелева группа;

2) (P\{0}; ) – абелева группа;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть

Таким образом, поле – это коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы составляют мультипликативную группу.

Примеры полей.

1) (Q; +, ), (R; +, ), (C; +, ) − примеры полей.

2) ( , , ) − поле.


⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.