Неопределенности. Примеры.. Монотонно возрастающие и монотонно убывающие последовательности.. Теорема о монотонно возрастающей ограниченной последовательности.. Предел функции (по Коши).. Предел функции (по Гейне).

17. Односторонние пределы.

1) Число А называется пределом  слева в точке , если  такое, что .

2) Число А называется пределом  справа в точке , если  такое, что .

18. Свойства предела функции.

а) Если , то он единственный.

б) Если , , то

Если  в окрестности , а , то

в) Если  ограниченна в , а  – бесконечно малая функция, то

г) Первый замечательный предел

Доказательство:

Рассмотрим площади трех фигур:

д) Пусть

тогда

е) Второй замечательный предел

ж) Если

Если

20. Вывести формулу для суммы геометрической прогрессии.

21. Критерий Коши для числовых последовательностей. Пример.

Теорема:

Предел числовой последовательности

Доказательство:

Необходимость ( )

Пусть . Надо доказать, что

Пусть  

22. Критерий Коши для функций.

Предел функции  при

23. Определение бесконечно малой величины и понятие о – символики. Примеры.

Функция  

1) Если .

2) Если

3) Если

Пусть

24. Теорема об эквивалентности бесконечно малых величин.

Определение:

Бесконечно малые величины  называются эквивалентными при  является бесконечно малой высшего порядка относительно

Теорема:

Пусть . Пусть .

Доказательство:

Необходимость :

Пусть , т.е. по определению:  бесконечно малая высшего порядка, чем .

Тогда ,

т.к.  

Достаточность :

Пусть ,

25. Определение непрерывной функции в точке и в области. Примеры.

1) Функция  непрерывна в .

2) Функция