Вопросы к экзамену по курсу «Математический анализ»

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Вопросы к экзамену по курсу «Математический анализ»

(для студентов ФСУ группы: 422-1, 422-2, 422-3)

1. Понятие функции. Примеры.

Функцией называется закон или правило, по которому каждому x из X ставится в соответствие единственное y из Y.

Примеры: 1) ;

2) x+2y+1=0, y=-0.5*(x-1);

2. Композиция.

3. Определение предела числовой последовательности.

Функция называется числовой последовательностью.

Число называется пределом числовой последовательности , если .

4. Доказать по определению, что .

Пусть

5. Дайте определение того, что .

Если

6. Теорема о единственности предела числовой последовательности.

Теорема:

Если предел числовой последовательности существует, то он единственный.

Доказательство:

Пусть ,

,

Тогда

7. Теорема об арифметических свойствах предела числовой последовательности.

Пусть , тогда:

1)

Доказательство:

Пусть

2)

Доказательство:

3) Если , , то

Доказательство:

8. Определение: , .

1)

Определение:

2)

Определение:

3)

Определение:

9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Примеры.

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

Ø Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Ø Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Ø Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Ø Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Ø Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Ø Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Ø Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

Ø Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.

Ø Если — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно малой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно малой.
Доказательство:

Ø Если — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно большой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно большой.
Доказательство:

12 3 4 5 Следующая ⇒