Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

2.4. Арифметические операции

Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления основаны на общих правилах, применяемых в позиционных си­стемах счисления.

2.4.1. Арифметическое сложение

2.4.1.1. Арифметическое сложение двоичных чисел

Арифметическое сложение двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 + 0 = 0₂; 0 + 1 = 1₂; 1 + 0 = 1₂; 1 + 1 = 10₂; 1 + 1 + 1 = 11₂.

Сложение двух чисел в двоичной системе выполняется столбиком, справа налево, начиная с младшего (правого) разряда, как в десятичной системе. В каждом разряде в соответствии с правилами, указанными таблицей двоичного сложения, производится сложение двух бит слагаемых или этих двух бит и единицы, если имеется перенос из соседнего (правого) младшего разряда. В результате получается цифра соответствующего разряда суммы и, возможно, также единица переноса в соседний старший (левый) разряд.

Пример: Сложить два числа 28₁₀ + 58₁₀ в восьмиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.1.

Табл.2.20.1.                        Арифметическое сложение двух чисел 28₁₀ + 58₁₀

Примечание. С – это бит переноса из старшего седьмого разряда.

Ответ: 28₁₀ + 58₁₀ = 0001 1100₂ - 0011 1010₂ = 0101 0110₂ = 86₁₀.

Пример: Сложить два числа 255₁₀ + 1₁₀ в восьмиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.2.

Табл.2.20.2.                        Арифметическое сложение двух чисел 255₁₀ + 1₁₀

Примечание. Значение бита переноса С в результате не учитывается.

Ответ: при сложении десятичных чисел 255₁₀ + 1₁₀ получается 256₁₀, которое не входит в диапазон восьмиразрядной сетки 0 … 255₁₀. Поэтому результат в двоичной системе 00000000₂ получается неверный из-за переполнения восьмиразрядной сетки. Для получения правильного результата необходимы вычисления с двойной точностью, то есть в шестнадцатиразрядной сетке.

Пример: Сложить два числа 255₁₀ + 1₁₀ в шестнадцатиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в шестнадцатиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.3.

Табл.2.20.3.                        Арифметическое сложение двух чисел 255₁₀ + 1₁₀

Ответ: при сложении десятичных чисел 255₁₀ + 1₁₀ получается 256₁₀, которое входит в диапазон шестнадцатиразрядной сетки 0 … 65535₁₀. Поэтому результат в двоичной системе получается верный 0000 0001 0000 0000₂ = 256₁₀.

Пример: Сложить два числа -1₁₀ + 1₁₀ в восьмиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.4.

Табл.2.20.4.                        Арифметическое сложение двух чисел -1₁₀ + 1₁₀

Примечание. СF – разряд переноса (заема). Значение бита переноса СF в результате не учитывается.

Ответ: при сложении десятичных чисел -1₁₀ + 1₁₀ получается 0₁₀, которое входит в диапазон восьмиразрядной сетки -128₁₀ … 0 … +127₁₀. Результат 0000 0000₂ верный.

 2.4.1.2. Арифметическое сложение шестнадцатеричных чисел

Арифметические сложение шестнадцатеричных чисел выполняется по правилам, применяемым в позиционных си­стемах счисления.

Пример:Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел 000Eh + 0001h. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке.

Ответ: 000Fh + 0001h = 0010h.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел 000Fh + 0001h. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке.

Ответ: 000Fh + 0001h = 0010h.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел 000Fh + 000Fh. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке.

Ответ: 000Fh + 000Fh = 000Еh.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел 7FFFh+0001h в формате без знака. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке. Выполнить верификацию результата.

Ответ: 7FFFh + 0001h = 8000h – верный, так как результат формате без знака входит в диапазон    0 … 65535₁₀ или 0000h … FFFFh.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел 7FFFh+0001h в формате со знаком. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке. Выполнить верификацию результата.

Ответ: 7FFFh + 0001h = 8000h – не верный, так как результат формате со знаком не входит в диапазон -32768 … +32767₁₀ или 8000h … 7FFFh и произошло переполнение шестнадцатиразрядной сетки в дополнительном коде.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел FFFFh+0001h в формате без знака. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке. Выполнить верификацию результата.

Ответ: 0000h – не верный, так как результат формате без знакf не входит в диапазон -0 … 65535₁₀ (0000h … FFFFh) и произошло переполнение шестнадцатиразрядной сетки.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел FFFFh+0001h в формате со знаком. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке. Выполнить верификацию результата.

Ответ: 0000h – верный, так как результат формате со знаком входит в -32768 … +32767₁₀ или 8000h … 7FFFh.

2.4.2. Арифметическое вычитание

Арифметическая операция вычитания выполняется по правилам вычитания (с использованием заёма из старшего значащего разряда):

0 - 0 = 0₂; 0 - 1 = 1₂; 1 - 0 = 1₂; 1 - 1 = 0₂.

При вычитании 0 - 1 = 1₂ производится заем в текущий бит.

Пример: Произвести вычитание в восьмиразрядной сетке 97₁₀ - 78₁₀

Порядок выполнения арифметического вычитания двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл.3.2.

Табл.2.21.          Арифметическое вычитание двух чисел 0110 0001₂ – 0100 1110₂

Примечание.

1. Символом «↑» отмечен ближайший значащий разряд (равный единице), из которого будет выполнен первоначальный заём.

2. Символами «→» отмечены разряды, из которых выполняются последующие заёмы.

3. Символами «↓» отмечены разряды, в которые выполняются заёмы.

4. С учетом того, что вес каждого, более старшего разряда в два раза больше соседнего, то в каждый, более младший разряд, приходят две единицы (1+1=2).

Ответ: 97₁₀ - 78₁₀ = 0110 0001₂ - 0100 1110₂ = 0001 0011₂ = 19₁₀.

Пример: Произвести вычитание в восьмиразрядной сетке 0₁₀ - 1₁₀

Порядок выполнения арифметического вычитания двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл.3.2.

Табл.2.21.               Арифметическое вычитание двух чисел 0000 0000₂ – 0000 0001₂

Примечание. СF – разряд заема (переноса). Значение бита переноса СF в результате не учитывается.

Ответ: 0₁₀ - 1₁₀ = 0000 0000₂ – 0000 0001₂   = 11111111₂ = -1₁₀.

2.4.3. Арифметическое умножение

Арифметическое умножение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 ´ 0 = 0; 0 ´ 1 = 0; 1 ´ 0 = 0; 1 ´ 1 = 1.

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенным правилам умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления. Выполняется последовательное умножение множимого на разряды множителя и поразрядным сдвигом промежуточного произведения влево. Количество сдвигов равно номеру разряда множителя. При сдвиге в промежуточные произведения справа дописываются нули. Произведение рассчитывается как сумма промежуточных произведений.

Пример: Выполнить умножение 23₁₀ ´ 11₁₀ = 10110₂ ´ 1011₂ в двоичной системе счисления. Результат представить в восьмиразрядной и шестнадцатиразрядной сетках.

Порядок выполнения арифметического умножения двоичных чисел приведен в табл2.

Табл.2.22.                              Арифметическое умножение двух двоичных чисел

23₁₀ ´ 11₁₀ = 10111₂ ´ 1011₂ = 1111 1101₂ = 253₁₀

Ответ. В восьмиразрядной сетке результат равен 1111 1101₂. В шестнадцатиразрядной сетке результат равен 0000 0000 1111 1101₂.

2.4.4. Арифметическое деление

Деление двоичных чисел выполняется по правилу арифметического вычитания.

Пример: Выполнить деление целых чисел 111₁₀ : 3₁₀ = 1101111₂ : 11₂ в двоичной системе счисления.

Результат представить:

- в целочисленном формате в восьмиразрядной и шестнадцатиразрядной сетках;

- в формате с плавающей точкой (32 бита).

Порядок выполнения арифметического деления двоичных чисел приведен в таблице 2.23.1.

Табл.2.23.1       Арифметическое деление двух двоичных чисел 111₁₀ : 3₁₀

111₁₀ : 3₁₀ = 37₁₀; 1101111₂ : 11₂ = 10 0101₂ = 37₁₀

Ответ: 0010 0101₂ = 0000 0000 0010 0101₂.

Ответ:

1. Целочисленный результат:

1.1. В восьмиразрядной сетке 0010 0101₂.

1.2. В шестнадцатиразрядной сетке 0000 0000 0010 0101₂.

       2. Дробный результат:

       2.1. С фиксированной точкой 10 0101,1₂.

2.2. Нормализованное 1, 0010 11₂ ∙ 2⁵.

2.3. С плавающей точкой 0 10000100 0010 1100 0000 0000 0000 000.

Пример: Выполнить деление целых чисел 111₁₀ : 2₁₀ = 1101111₂ : 10₂ в двоичной системе счисления.

Результат представить:

- в целочисленном формате в восьмиразрядной и шестнадцатиразрядной сетках;

- в формате с плавающей точкой (32 бита).

Порядок выполнения арифметического деления двоичных чисел приведен в таблице 2.23.2.

Табл.2.23.2       Арифметическое деление двух двоичных чисел 111₁₀ : 2₁₀

111₁₀ : 2₁₀ = 55,5₁₀; 1101111₂ : 10₂ = 11 0111₂ (остаток равен 1); 11 0111₂  = 55₁₀

Ответ:

1. Целочисленный результат:

1.1. В восьмиразрядной сетке 0011 0111₂.

1.2. В шестнадцатиразрядной сетке 0000 0000 0011 0111₂.

       2. Дробный результат:

       2.1. С фиксированной точкой 11 0111,1₂.

2.2. Нормализованное 1,1011 11₂ ∙ 2⁵.

2.3. С плавающей точкой 0 10000100 1011 1100 0000 0000 0000 000.

2.5. Проверка результатов выполнения арифметических операций

Флаги состояния отражают признаки результат выполнения арифметических инструкций, таких как сложение ADD, вычитание SUB, умножение MUL, деление DIV.

Флаги состояния:

- CF — устанавливается при переносе из старшего значащего бита результата при сложении (или заёме в старший значащий бит результата при вычитании). Флаг CF показывает наличие переполнения в беззнаковой целочисленной арифметике.

- PF — устанавливается, если младший значащий байт результата содержит чётное число единичных (ненулевых) битов. Флаг ориентирован на проверку целостности данных при хранении и передаче.

- AF — устанавливается при переносе из третьего бита 3 результата при сложении (или при заёме в третий  бит результата при вычитании). Этот флаг ориентирован на использование в двоично-десятичной арифметике (BCD - binary coded decimal) .

- ZF — устанавливается, если результат равен нулю. Флаг ориентирован на проверку результата на ноль при организации циклов.

- SF — равен значению старшего значащего бита результата. Флаг SF используется для определения знака результата в знаковой арифметике.

- OF — устанавливается, если есть наличие переполнения в дополнительном коде (при переносе в старший значащий бит результата). Флаг OF показывает наличие переполнения в знаковой целочисленной арифметике.

Пример 1

#make_BIN#

;СЛОЖЕНИЕ 8000h + 7FFFh

;+++++++++++++++++++++++

MOV AX, 08000h

MOV BX, 07FFFh

ADD AX, BX

 HLT

Анализ результата

Пример 2

#make_BIN#

;СЛОЖЕНИЕ FFFFh + 0001h

;+++++++++++++++++++++++

MOV AX, 0FFFFh

MOV BX, 00001h

ADD AX, BX

Анализ результата

Пример 3

#make_BIN#

;СЛОЖЕНИЕ 07FFFh + 00001h

;+++++++++++++++++++++++

MOV AX, 07FFFh

MOV BX, 00001h

ADD AX, BX

Анализ результата

Пример 4

#make_BIN#

;СЛОЖЕНИЕ 8000h + 8000h

;+++++++++++++++++++++++

MOV AX, 08000h

MOV BX, 08000h

ADD AX, BX

Анализ результата

;+++++++++++++++++++++++

Пример 5

#make_BIN#

;ВЫЧИТАНИЕ 8000h - 8000h

;-----------------------

MOV AX, 08000h

MOV BX, 08000h

SUB AX, BX

Анализ результата

Пример 6

#make_BIN#

;ВЫЧИТАНИЕ 8000h - 8001h

;-----------------------

MOV AX, 08000h

MOV BX, 08001h

SUB AX, BX

Анализ результата

Пример 7

#make_BIN#

;ВЫЧИТАНИЕ 8000h - 7FFF h

;-----------------------

MOV AX, 08000h

MOV BX, 07FFFh

SUB AX, BX

Анализ результата

Пример 8

#make_BIN#

;ВЫЧИТАНИЕ 7FFFh  - 8000h

;-----------------------

MOV AX, 07FFFh

MOV BX, 08000h

SUB AX, BX

Анализ результата