Арифметические операции 3 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

- расширенный ASCII-код (Latin-1, кодовая страница IS-8859-1, 8 бит);

- КОИ-8 (расширенный 8 бит);

- кодовая страница IS-8859-2 для славянских букв;

- UNICODE (указатель кода IS-10646, 16 бит) – универсальный код, включающий в себя ранее разработанные коды.

Табл.2.19. Коды символов (основная кодировка ГОСТА)

ASCII

код

Младшая цифра кода Lhex

Старшая цифра кода Hhex

УПРАВЛЯЮЩИЕ

СИМВОЛЫ

“

”

(

)

;

[

]

‘

{

}

DEL

СИМВОЛЫ ПСЕВДОГРАФИКИ

ГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ

Примечание. Буквосочетанием SP в таблице отмечен невидимый символ пробел.

2.3.4.1. Определение символа по его коду

Правило определения символа по коду символа:

- каждый символ находится на пересечении строки (старшая цифра Hhex) и столбца (младшая цифра Lhex) в таблице 4.4.

Пример: Определить символ, если его код равен 7Вh. Находим символ ‘{‘ на пересечении 7-ой строки (7h) и 11-го (Вh) столбца.

Ответ: коду символа 7Вh соответствует символ ‘{‘.

2.3.4.2. Определение кода символа

Правило определения кода символа:

- код каждого символа составляется из старшей цифры кода Hhex и младшей цифры кода Lhex таблицы 3.4.

Пример: Определить код символа ‘=’. Составляем код из старшей цифры 3h (строка) и младшей цифры Dh (столбец).

Ответ: символу ‘=‘ соответствует код 3Dh.

2.3.5. Двоично-десятичные числа (BCD)

Двоично-десятичные числа BCD (Binary Coded Decimal - двоично-кодированные десятичные числа, код 8-4-2-1) используется для обработки двоичных чисел по правилам десятичной арифметики и управления индикаторами.

2.3.5.1. Представление десятичного числа в двоично-десятичном упакованном формате

В упакованном формате двоично-десятичного кода каждый байт содержит двухразрядное десятичное число. Перевод целого десятичного числа в двоично-десятичную систему счисления (упакованный формат) производится по правилу: каждая десятичная цифра (от 0 до 9) преобразуется в двоично-десятичный эквивалент из четырех бит (от 0000 до 1001).

Пример: 29₁₀=(2) (9)=0010 1001_2-10 (число 29 в упакованном формате).

2.3.5.2. Представление десятичного числа в двоично-десятичном неупакованном формате

В неупакованном формате двоично-десятичного кода каждый байт содержит один разряд десятичного числа. Перевод целого десятичного числа в двоично-десятичную систему счисления (неупакованный формат) производится по правилу: каждая десятичная цифра (от 0 до 9) преобразуется в двоично-десятичный эквивалент из четырех бит (от 0000 до 1001) и записывается в младшую тетраду байта.

Пример: 29₁₀=(2) (9)=0000 0010 0000 1001_2-10 (число 29 в неупакованном формате).

2.3.5.3. Перевод BCD упакованного формата в десятичное число

Перевод двоично-десятичного упакованного числа в десятичную систему счисления производится по правилу:

каждые четыре бита (младшая и старшая тетрада) переводятся в десятичный символ с помощью степенного ряда.

Пример: 0010 1001_2-10= (0010) (1001)=(0×2³+ 0×2²+ 1×2¹+ 0×2⁰) (1×2³+ 0×2²+ 0×2¹+ 1×2⁰) = 29₁₀.

2.3.5.4. Перевод BCD неупакованного формата в десятичное число

Перевод двоично-десятичного неупакованного числа в десятичную систему счисления производится по правилу:

четыре младших бита байта (младшая тетрада) переводятся в десятичный символ с помощью степенного ряда.

Пример: 0000 0010 0000 1001_2-10 = (0+0+0+0 + 0+0+2+0) (0+0+0+0 + 8+0+0+1) = 29₁₀.

2.4. Арифметические операции

Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления основаны на общих правилах, применяемых в позиционных системах счисления.

2.4.1. Арифметическое сложение

2.4.1.1. Арифметическое сложение двоичных чисел

Арифметическое сложение двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 + 0 = 0₂; 0 + 1 = 1₂; 1 + 0 = 1₂; 1 + 1 = 10₂; 1 + 1 + 1 = 11₂.

Сложение двух чисел в двоичной системе выполняется столбиком, справа налево, начиная с младшего (правого) разряда, как в десятичной системе. В каждом разряде в соответствии с правилами, указанными таблицей двоичного сложения, производится сложение двух бит слагаемых или этих двух бит и единицы, если имеется перенос из соседнего (правого) младшего разряда. В результате получается цифра соответствующего разряда суммы и, возможно, также единица переноса в соседний старший (левый) разряд.

Пример: Сложить два числа 28₁₀+ 58₁₀ в восьмиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.1.

Табл.2.20.1. Арифметическое сложение двух чисел 28₁₀+ 58₁₀

Система счисления

Двоичное число

Десятичное число

Номер разряда

Перенос

1-е слагаемое

2-е слагаемое

Сумма

Примечание. С – это бит переноса из старшего седьмого разряда.

Ответ: 28₁₀+ 58₁₀= 0001 1100₂- 0011 1010₂= 0101 0110₂= 86₁₀.

Пример: Сложить два числа 255₁₀+ 1₁₀ в восьмиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.2.

Табл.2.20.2. Арифметическое сложение двух чисел 255₁₀+ 1₁₀

Система счисления

Двоичное число

Десятичное число

Номер разряда

Перенос

1-е слагаемое

2-е слагаемое

Сумма

Примечание. Значение бита переноса С в результате не учитывается.

Ответ: при сложении десятичных чисел 255₁₀+ 1₁₀ получается 256₁₀, которое не входит в диапазон восьмиразрядной сетки 0 … 255₁₀. Поэтому результат в двоичной системе 00000000₂ получается неверный из-за переполнения восьмиразрядной сетки. Для получения правильного результата необходимы вычисления с двойной точностью, то есть в шестнадцатиразрядной сетке.

Пример: Сложить два числа 255₁₀+ 1₁₀ в шестнадцатиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в шестнадцатиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.3.

Табл.2.20.3. Арифметическое сложение двух чисел 255₁₀+ 1₁₀

Система счисления

Двоичное число

Номер разряда

Перенос

1-е слагаемое

2-е слагаемое

Сумма

Ответ: при сложении десятичных чисел 255₁₀+ 1₁₀ получается 256₁₀, которое входит в диапазон шестнадцатиразрядной сетки 0 … 65535₁₀. Поэтому результат в двоичной системе получается верный 0000 0001 0000 0000₂ = 256₁₀.

Пример: Сложить два числа -1₁₀+ 1₁₀ в восьмиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.4.

Табл.2.20.4. Арифметическое сложение двух чисел -1₁₀+ 1₁₀

Система счисления	Двоичное число	Десятичное число
Номер разряда	СF
Перенос
1-е слагаемое		-1
2-е слагаемое		+1
Сумма

Примечание. СF – разряд переноса (заема). Значение бита переноса СF в результате не учитывается.

Ответ: при сложении десятичных чисел -1₁₀+ 1₁₀ получается 0₁₀, которое входит в диапазон восьмиразрядной сетки -128₁₀ … 0 … +127₁₀. Результат 0000 0000₂ верный.

2.4.1.2. Арифметическое сложение шестнадцатеричных чисел

Арифметические сложение шестнадцатеричных чисел выполняется по правилам, применяемым в позиционных системах счисления.

Пример:Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел 000Eh + 0001h. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке.

Операция	Комментарий
000Eh 0001h ------- 000Fh	Сложение младших разрядов: Eh + 1h = 14₁₀ + 1₁₀. Число 15₁₀ не превышает старший символ Fh = 15₁₀, поэтому не возникает переполнения разряда и переноса единицы в следующий (более старший левый) разряд. Результат: 15₁₀ = Fh.

Ответ: 000Fh + 0001h = 0010h.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел 000Fh + 0001h. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке.

Операция

Комментарий

1 000Fh 0001h ------- 0010h

Сложение младших разрядов: Fh + 1h = 15₁₀ + 1₁₀ = 16₁₀. Число 16₁₀ превышает старший символ Fh = 15₁₀, поэтому возникает переполнение разряда и перенос единицы в следующий (более старший левый) разряд. В текущем разряде остается разность 16₁₀ – 16₁₀ = 0. Результат: 16₁₀ = 10h.

Ответ: 000Fh + 0001h = 0010h.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел 000Fh + 000Fh. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке.

Операция

Комментарий

1 000Fh 000Fh ------- 001Еh

Сложение младших разрядов: Fh + Fh = 15₁₀ + 15₁₀ = 30₁₀. Число 30₁₀ превышает старший символ Fh = 15₁₀, поэтому возникает переполнение разряда и перенос единицы в следующий (более старший левый) разряд. В текущем разряде остается разность 30₁₀ – 16₁₀ = 14₁₀ = Еh. Результат: 16₁₀ = 10h.

Ответ: 000Fh + 000Fh = 000Еh.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел 7FFFh+0001h в формате без знака. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке. Выполнить верификацию результата.

Операция	Комментарий
7FFFh 0001h ------- 8000h	Результат: 8000h = 32768₁₀. Анализ: полученный результат формате без знака входит в диапазон 0 … 65535₁₀ или 0000h … FFFFh.

Ответ: 7FFFh + 0001h = 8000h – верный, так как результат формате без знака входит в диапазон 0 … 65535₁₀ или 0000h … FFFFh.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел 7FFFh+0001h в формате со знаком. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке. Выполнить верификацию результата.

Операция	Комментарий
7FFFh 0001h ------- 8000h	Результат: 8000h = 32768₁₀. Анализ: полученный результат формате со знаком не входит в диапазон -32768 … +32767₁₀ или 8000h … 7FFFh. Произошло переполнение разрядной сетки в дополнительном коде.

Ответ: 7FFFh + 0001h = 8000h – не верный, так как результат формате со знаком не входит в диапазон -32768 … +32767₁₀ или 8000h … 7FFFh и произошло переполнение шестнадцатиразрядной сетки в дополнительном коде.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел FFFFh+0001h в формате без знака. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке. Выполнить верификацию результата.

Операция

Комментарий

1111h FFFFh 0001h ------- 0000h

Результат: 0000h = 0₁₀ (перенос из старшего разряда не учитывается). Анализ: FFFFh + 0001h = 65536₁₀ +1₁₀ = 65536₁₀ ≠ 0000h. Полученный результат 65536₁₀ формате без знака не входит в диапазон 0 … 65535₁₀ или 0000h … FFFFh. Произошло переполнение шестнадцатиразрядной сетки.

Ответ: 0000h – не верный, так как результат формате без знакf не входит в диапазон -0 … 65535₁₀ (0000h … FFFFh) и произошло переполнение шестнадцатиразрядной сетки.

Пример: Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел FFFFh+0001h в формате со знаком. Результат представить в шестнадцатиразрядной сетке. Выполнить верификацию результата.

Операция	Комментарий
1111h FFFFh 0001h ------- 0000h	Результат: 0000h = 0₁₀ (перенос из старшего разряда не учитывается). Анализ: FFFFh + 0001h = -1₁₀ +1₁₀ = 0₁₀ = 0000h. Полученный результат 0₁₀ формате со знаком входит в диапазон -32768 … +32767₁₀ или 8000h … 7FFFh.

Ответ: 0000h – верный, так как результат формате со знаком входит в -32768 … +32767₁₀ или 8000h … 7FFFh.

2.4.2. Арифметическое вычитание

Арифметическая операция вычитания выполняется по правилам вычитания (с использованием заёма из старшего значащего разряда):

0 - 0 = 0₂; 0 - 1 = 1₂; 1 - 0 = 1₂; 1 - 1 = 0₂.

При вычитании 0 - 1 = 1₂ производится заем в текущий бит.

Пример: Произвести вычитание в восьмиразрядной сетке 97₁₀- 78₁₀

Порядок выполнения арифметического вычитания двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл.3.2.

Табл.2.21. Арифметическое вычитание двух чисел 0110 0001₂ – 0100 1110₂

Система	Двоичное число						Десятичное число
Номер разряда
Заем		1→	1+1→ ↓	1+1→ ↓	1+1→ ↓	1+1 ↓
Расчетный заем		↑					→
Уменьшаемое		1→0
Вычитаемое
Разность

Примечание.

1. Символом «↑» отмечен ближайший значащий разряд (равный единице), из которого будет выполнен первоначальный заём.

2. Символами «→» отмечены разряды, из которых выполняются последующие заёмы.

3. Символами «↓» отмечены разряды, в которые выполняются заёмы.

4. С учетом того, что вес каждого, более старшего разряда в два раза больше соседнего, то в каждый, более младший разряд, приходят две единицы (1+1=2).

Ответ: 97₁₀- 78₁₀= 0110 0001₂- 0100 1110₂= 0001 0011₂= 19₁₀.

Пример: Произвести вычитание в восьмиразрядной сетке 0₁₀- 1₁₀

Порядок выполнения арифметического вычитания двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл.3.2.

Табл.2.21. Арифметическое вычитание двух чисел 0000 0000₂ – 0000 0001₂

Система	Двоичное число	Десятичное число
Номер разряда	СF
Расчетный заем
Уменьшаемое
Вычитаемое
Разность		-1

Примечание. СF – разряд заема (переноса). Значение бита переноса СF в результате не учитывается.

Ответ: 0₁₀- 1₁₀ = 0000 0000₂ – 0000 0001₂ = 11111111₂ = -1₁₀.

2.4.3. Арифметическое умножение

Арифметическое умножение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 ´ 0 = 0; 0 ´ 1 = 0; 1 ´ 0 = 0; 1 ´ 1 = 1.

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенным правилам умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления. Выполняется последовательное умножение множимого на разряды множителя и поразрядным сдвигом промежуточного произведения влево. Количество сдвигов равно номеру разряда множителя. При сдвиге в промежуточные произведения справа дописываются нули. Произведение рассчитывается как сумма промежуточных произведений.

Пример: Выполнить умножение 23₁₀´ 11₁₀= 10110₂ ´ 1011₂ в двоичной системе счисления. Результат представить в восьмиразрядной и шестнадцатиразрядной сетках.

Порядок выполнения арифметического умножения двоичных чисел приведен в табл2.

Табл.2.22. Арифметическое умножение двух двоичных чисел

Двоичная	Десятичная			Комментарий
				Номер разряда
				Множимое
				Множитель
				Умножение
				Умножение и сдвиг влево на 1
	-	-	-	Умножение и сдвиг влево на 2
	-	-	-	Умножение и сдвиг влево на 3
				Произведение

23₁₀´ 11₁₀ = 10111₂ ´ 1011₂ = 1111 1101₂ = 253₁₀

Ответ. В восьмиразрядной сетке результат равен 1111 1101₂. В шестнадцатиразрядной сетке результат равен 0000 0000 1111 1101₂.

2.4.4. Арифметическое деление

Деление двоичных чисел выполняется по правилу арифметического вычитания.

Пример: Выполнить деление целых чисел 111₁₀ : 3₁₀ = 1101111₂ : 11₂ в двоичной системе счисления.

Результат представить:

- в целочисленном формате в восьмиразрядной и шестнадцатиразрядной сетках;

- в формате с плавающей точкой (32 бита).

Порядок выполнения арифметического деления двоичных чисел приведен в таблице 2.23.1.

Табл.2.23.1 Арифметическое деление двух двоичных чисел 111₁₀ : 3₁₀

111₁₀ : 3₁₀ = 37₁₀; 1101111₂ : 11₂= 10 0101₂ = 37₁₀

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒