Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

Арифметические операции 1 страница

2. Арифметические основы микропроцессорной техники

2.1. Системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил записи чисел с помощью символов. Различают непозиционные (римские цифры) и позиционные (десятичная, двоичная и др.) системы счисления. Наиболее часто используются позиционные системы счисления, т.к. они позволяют выполнять арифметические операции.

Каждая позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание системы счисления «р» - это количество символов, которое используется для изображения чисел.

В любой позиционной системе счисления целое число может быть представлено в двух формах записи:

• В виде последовательности символов    a_n-1 a_n-2 . . . a₁ a_{0 ,}
• В виде степенного ряда  =

= a_n-1×р^n-1 + a_n-2×р^n-2 + . . . + a₁×р¹ + a₀×р⁰ = a_n-1×q_n-1 + a_n-2×q_n-2 + . . . + a₁×q₁ + a₀×q₀ .

где a_n-1 - символ старшего разряда; a₀ - символ младшего разряда; a_i – символ i-го разряда; i – номер разряда (i = n-1, n-2, … 1, 0); n – количество разрядов числа; р –  основание системы счисления; рⁱ = q_i – вес i-го разряда.

В позиционных системах счисления номера символов увеличиваются справа налево от младшего нулевого разряда до старшего (n-1)-разряда. В позиционных системах счисления значение символа зависит от его позиции в числе. Все разряды числа отличаются друг от друга весом или весовым коэффициентом q_i=pⁱ. Веса разрядов увеличиваются справа налево (от младшего к старшему) в «р»-раз.

В человеческой деятельности обычно используется десятичная система счисления.

Десятичная или децимальная (decimal, dec) система счисления имеет основание десять (р=10). Любое число записывается с помощью десяти символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Табл.2.1.                      Веса разрядов восьмиразрядного десятичного целого числа

Для отличия одной системы счисления от другой справа пишется символ, равный основанию 125₁₀. Пример записи десятичного числа: 125₁₀.

Пример записи десятичного числа:

в виде последовательности символов   125;

в виде степенного ряда 1·10² + 2·10¹ + 5·10⁰  = 100 + 20 + 5.

В вычислительной технике для хранения, обработки и передачи информации (адресов, команд и данных) используется двоичная система счисления.

Двоичная или бинарная (binary, bin) система счисления имеет основание два (р=2). Любое число записывается с помощью двух символов (цифр): 0, 1. Эти двоичные цифры названы битами (bit от binary digit). Для идентификации двоичных чисел используются следующие способы: 1101₂, 1101bin, 1101b, 0b1101.

Табл.2.2.                               Веса разрядов восьмиразрядного двоичного целого числа

Пример записи двоичного целого числа:

в виде последовательности символов 111₂;

в виде степенного ряда 1·(10₂)² + 1·(10₂)¹ + 1·(10₂)⁰ = 100₂ + 10₂ + 1₂ (показатель степени для удобства приведен в десятичной системе счисления).

Цифровая и микропроцессорная техника строится  в ИС ТТЛ (интегральные схемы транзисторно-транзисторной логики) и ИС КМОП (интегральные схемы комплементарные-металл-оксидные-полупроводниковые).

Напряжение питания ИС ТТЛ равно Uпит  = +5,0 B. Уровни логических сигналов (биты) ИС ТТЛ на физическом уровне представляются напряжением питания Uпит в диапазоне от 0 до +5 В:

1. Биту, имеющему значение ноль (логический ноль, Low), соответствует напряжение низкого уровня U⁰ = (0 … +0,4) В.

2. Биту, имеющему значение единица (логическая единица, High) , соответствует напряжение высокого уровня U¹ = (+2,4 В … +5,0) B.

Для питания различных ИС КМОП могут использоваться напряжения питания Uпит в диапазоне от 3,3 В до +15 В. Уровни логических сигналов (биты) ИС КМОП на физическом уровне представляются напряжением питания Uпит в диапазоне от 0 до + Uпит:

1. Биту, имеющему значение ноль (логический ноль, Low), соответствует напряжение низкого уровня U⁰ = (0 … +0,3∙Uпит) В.

2. Биту, имеющему значение единица (логическая единица, High) , соответствует напряжение высокого уровня U¹ = (+0,99∙Uпит … Uпит) В.

       В современных микропроцессорах, построенных на микросхемах КМОП, используется напряжение питания Uпит = 3,3 В и ниже.        

Достоинства двоичной системы счисления:

Простота технической реализации цифровых элементов, используемых для построения вычислительной системы.

2) Высокая скорость обработки данных.

       Недостатки двоичной системы счисления:

1) Трудность запоминания человеком двоичных чисел.

2) Большая разрядность двоичных чисел, по сравнению с другими системами счисления.

Для компактной записи двоичных чисел используются шестнадцатеричные числа.

Шестнадцатеричная или гексадецимальная (hexadecimal) система счисления имеет основание шестнадцать (р=2ⁿ=16, где n = 4 двоичных бита для записи каждого шестнадцатеричного символа). Для записи числа используются шестнадцать символов (цифр и букв): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Значение каждой прописной буквы латинского алфавита буквы A, B, C, D, E, F соответствует десятичным числам 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Каждый шестнадцатеричный символ может быть представлен единственным сочетанием четырех бит (тетрадой). Тетрада может принимать 2⁴=16 значений (от 0₁₀ до 15₁₀ или от 0₁₆ до F₁₆). Шестнадцатеричная система используется для кодирования двоичных чисел, разрядность которых кратна четырем (4, 8, 16 и т.д.). Пример записи шестнадцатеричного числа: А5₁₆, А5hex, А5h, $А5, 0xА5.

Табл.2.4.               Веса разрядов восьмиразрядного шестнадцатеричного целого числа

В таблице 2.5 представлены последовательности целых чисел, записанных в различных системах счисления.

Табл.2.5.         Последовательности целых чисел в разных системах счисления

Шестнадцатеричные числа имеют следующие преимущества перед двоичными и десятичными:

1. Шестнадцатеричное число дает более компактную запись двоичного числа.

2. Шестнадцатеричное число имеет более упорядоченную форму записи по сравнению с десятичным числом, способствующую лучшему запоминанию.

Табл.2.6.          Сравнительная характеристика различных систем счисления

В любой позиционной системе счисления вещественное число может быть представлено в двух формах записи:

1. В виде последовательности символов  a_n-1 a_n-2 . . . a₁ a₀ , a_-1 a_-2 …a_-(m-1) a_-m,

2. В виде степенного ряда  =

= a_n-1×р^n-1 + a_n-2×р^n-2 + . . . + a₁×р¹ + a₀×р⁰ + a_-1×р^-1 + a_-2×р^-2 + … + a_-(m-1)×р^-(m-1) + a_-m×р^{-m =}

= a_n-1×q_n-1 + a_n-2×q_n-2 + . . . + a₁×q₁ + a₀×q₀ + a_-1×q_-1 + a_-2×q_-2 + … + a_-(m-1)×q_-(m-1) + a_-m×q_-m .

где a_i – значение символа i-го разряда; i – номер разряда (i = n-1, n-2, … 1, 0, -1, -2 …, -m+1, -m); р – основание системы счисления; q_i – вес i-го разряда (q_i=рⁱ); n – количество разрядов целой части вещественного числа; m – количество разрядов дробной части вещественного числа.

Пример записи десятичного вещественного числа:

в виде последовательности символов 125,875₁₀;

в виде степенного ряда

1·10² + 2·10¹ + 5·10⁰ + 8·10^-1 + 7·10^-2  + 5·10^-3 = 100₁₀ + 20₁₀ + 5₁₀ + 0,8₁₀ + 0,07₁₀. + 0,005₁₀

Табл.2.7.                    Веса разрядов восьмиразрядного десятичного дробного числа

Пример записи двоичного вещественного числа:

в виде последовательности символов 1111101,111₂;

в виде степенного ряда

1·(10₂)⁶ + 1·(10₂)⁵ + 1·(10₂)⁴ + 1·(10₂)³ + 1·(10₂)² + 0·(10₂)¹ + 1·(10₂)⁰ + 1·(10₂)^-1 + 1·(10₂)^-2  + 1·(10₂)^-2  =

1000000₂ + 100000₂ + 10000₂ + 1000₂ + 100₂ + 0₂ + 1₂ + 0,1₂ + 0,01₂  + 0,001₂

(показатель степени для удобства приведен в десятичной системе счисления).

Табл.2.8.                    Веса разрядов восьмиразрядного двоичного дробного числа

2.2. Перевод из одной системы счисления в другую

2.2.1. Перевод целого десятичного числа в двоичную систему счисления

Перевод целого десятичного числа в двоичную систему счисления производят последовательным делением десятичного числа на основание двоичной системы счисления р=2.

Перевод выполняется по следующему правилу:

Разделить исходное десятичное число на 2.

Найти частное от деления.

Вычислить остаток, который является символом младшего 0-го разряда двоичного числа.

Разделить полученное частное от деления на 2.

Найти новое частное от деления.

Вычислить новый остаток, который является символом следующего разряда двоичного числа.

Проверить частное от деления:

- если частное от деления больше единицы, то перейти к пункту 4;

- если частное от деления равно единице, то перейти к пункту 8.

Частное от деления, равное единице, является старшим значащим разрядом двоичного числа.

Пример: Перевести целое десятичное число 125₁₀ в двоичную систему счисления.

Порядок перевода приведен в таблице 2.1.1.

Табл.2.9.               Перевод десятичного числа 125₁₀ в двоичную систему счисления

После перевода в столбике «Остаток» будет записано двоичное число, которое необходимо переписать в строчку снизу вверх слева направо, начиная со старшего значащего разряда.

Ответ: 125₁₀ = 1111101₂.

2.2.2. Перевод целого двоичного числа в десятичную систему счисления

Перевод целого двоичного числа в десятичную систему счисления выполняется счисления по формуле степенного ряда a_n-1×р^n-1 + a_n-2×р^n-2 + . . . + a₁×р¹ + a₀×р⁰ , где р=2. Перевод выполняется в следующей последовательности:

Записать формулу степенного ряда с учетом разрядности числа n.

Подставить в формулу значение битов двоичного числа.

Вычислить сумму членов степенного ряда.

Полученная сумма является десятичным эквивалентом двоичного числа.

Пример: Перевести двоичное число 1111101₂ в десятичную систему счисления. Для данного двоичного числа составляем степенной ряд, который будет использоваться для вычислений:

a₆×р⁶ + a₅×р⁵ + a₄×р⁴ + a₃×р³ + a₂×р² + a₁×р¹ + a₀×р⁰ , где р=2.

Табл.2.10.           Соответствие номера разряда и значения бита двоичного числа

Подставляем в формулу значение битов a_i и основание системы счисления р=2

1111101₂ = 1·2⁶ + 1·2⁵ +1·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 64+32+16+8+4+0+1 = 125₁₀.

Ответ: 1111101₂ = 125₁₀.

2.2.3. Перевод целого двоичного числа в десятичную систему счисления суммированием весов единичных разрядов.

Перевод выполняется в следующей последовательности:

Найти в двоичном числе разряды (биты), равные единице.

Определить веса найденных единичных разрядов рⁱ.

Сложить все веса единичных разрядов.

Пример: перевести двоичное число 1111101₂ в десятичную систему счисления.

    Табл.2.11. Таблица соответствия номера разряда и веса разряда двоичного числа

Складываем веса единичных (6, 5, 4, 3, 2 и 0)- разрядов:  64+32+16+8+4+0+1 = 125₁₀.

Ответ: 1111101₂= 125₁₀.

2.2.4. Перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления

В шестнадцатеричной системе счисления каждый разряд представляется четырехразрядным двоичным числом, называемым тетрадой.

Перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления производится по правилу:

Разбить двоич­ное число (справа налево) на тетрады (группы из четырех разря­дов).

Дополнить старшую (левую) тетраду нулями, если после разбиения в ней оказывается меньше четырех разрядов.

Перевести каждую тетра­ду в десятичную систему счисления с помощью сложения весов единичных разрядов.

Преобразовать каждый десятичный символ в шестнадцатеричный (Табл.2.5).

Каждая тетрада после преобразования образует разряд шестнадцатерично­го числа.

Пример: Перевести двоичное число 1111101₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

       1111101₂ = [111] [1101] = [0111] [1101]. Порядок перевода показан в таблице 2.4.

Табл.2.12.  Перевод восьмиразрядного двоичного числа в шестнадцатеричное

Ответ: 1111101₂ = 7D₁₆.

2.2.5. Перевод целого шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления

Перевод шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления производят по правилу:

Каждый символ шестнадцатеричного числа переводится в десятичный.

Каждый десятичный символ переводится в тетраду.

Из последовательности тетрад составляется двоичное число.

Пример: Перевести шестнадцатеричное число 7D₁₆ в двоичную систему счисления

       7D₁₆ = [7][D]=[7][13]= [0111] [1101] = 1111101₂.   

       Ответ: 7D₁₆  = 1111101₂.

2.2.6. Перевод целого шестнадцатеричного числа в десятичную систему счисления

Перевод целого шестнадцатеричного числа в десятичную систему счисления производят по формуле степенного ряда: a_n-1×р^n-1 + a_n-2×р^n-2 + . . . + a₁×р¹ + a₀×р⁰ , где р = 16.

Перевод выполняется в следующей последовательности:

Записать степенной ряд с учетом разрядности числа n.

Подставить в формулу значение разрядов шестнадцатеричного числа

Пример: Перевести шестнадцатеричное число 7D₁₆ в десятичную систему счисления. Для шестнадцатеричного числа составляем степенной ряд, который будет использоваться для вычислений:  a₁×р¹ + a₀×р⁰.

7D₁₆ = [7][D] = [7][13] = 7×16¹ + 13×16⁰ = 112 + 13 = 125₁₀.

Ответ: 7D₁₆ = 125₁₀.

2.2.7. Перевод дробного десятичного числа в двоичную систему счисления

Перевод дробного десятичного числа в двоичную систему счисления производят последовательным умножением десятичного числа на 2 (на основание двоичной системы счисления р=2).

Перевод выполняется по следующему правилу:

Умножить дробную часть на два;

Разбить полученное произведение на целую и дробную части

Целая часть произведения является символом старшего (левого, минус первого) разряда двоичного числа;

Умножить дробную часть произведения на два

Разбить полученное произведение на целую и дробную части

Целая часть произведения является символом следующего разряда двоичного числа;

Перейти к пункту 4.

Количество умножений зависит от заданной точности представления дробной части. Если при умножении произведение становится равным 0.0, то дробное число точно представляется в двоичной системе счисления. Если при умножении произведение не становится равным 0.0, то дробное число может быть представлено в двоичной системе счисления только приближенно. Относительную погрешность можно определить по формуле σ = (Х_исх-Х_вос)/Х_исх (Х_исх – исходное десятичное число, Х_вос – восстановленное десятичное число, полученное переводом из двоичной системы счисления).

Пример: перевести дробное десятичное число 0,57₁₀ в двоичную систему счисления с точностью до восьмого знака (m=8). Порядок перевода приведен в таблице 2.9.2.

Табл.2.13. Перевод дробного десятичного числа 0,57₁₀ в двоичную систему счисления

Ответ: 0,57₁₀ = 0,10010001₂.

2.2.8. Перевод дробного двоичного числа в десятичную систему счисления

Перевод дробного двоичного числа в десятичную систему счисления по формуле степенного ряда a_-1×р^-1 + a_-2×р^-2 + … + a_-(m-1)×р^-(m-1) + a_-m×р^-m (р=2).

Пример: перевести двоичное число 0,10010001₂ в десятичную систему счисления.

Основание системы счисления р=2, а m=8 (дано 8 знаков после запятой)    

a_-1×р^-1+a_-2×р^-2+a_-3×р^-3+a_-4×р^-4+a_-5×р^-5+a_-6×р^-6+a_-7×р^-7+a_-8×р^-8

Подставляем в формулу значение разряда, основание системы счисления и номер разряда

0,10010001₂=1×2^-1+0×2^-2+0×2^-3+1×2^-4+0×2^-5+0×2^-6+0×2^-7+1×2^-8=1/2+0+0+1/16+0+0+0+1/256=0,5698₁₀

Ответ: 0,10010001₂ = 0,5698₁₀ ≈ 0,57₁₀.

2.2.9. Проверка погрешности представления дробного десятичного числа

Относительная погрешность δ рассчитывается по формуле:

 δ = (Х_и-Х_в)/ Х_и *100 %, где Х_и - исходное десятичное число; Х_в - восстановленное десятичное число (переведенное из двоичной системы в десятичную систему).

Пример: исходное значение дробного десятичного числа равно 0,57₁₀. Дробное двоичное число, полученное переводом числа 0,57₁₀ с точностью до восьмого разряда, равно 0,10010001₂.   Восстановленное дробное десятичное число из 0,10010001₂ равно 0,5698₁₀

δ = (0,57 - 0,5698)/ 0,57*100 % = 0,035 %.

Ответ: Относительная погрешность представления равна δ =0,035 %.

2.2.10. Двоичная арифметика

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения. Правила арифметики во всех позиционных системах аналогичны.

Арифметическое сложение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 + 0 = 0₂; 0 + 1 = 1₂; 1 + 0 = 1₂; 1 + 1 = 10₂; 1 + 1 + 1 = 11₂.

При сложении двух и трех единиц в двоичном разряде происходит перенос единицы (1) из текущего бита в следующий разряд (левый, более старший разряд). Перенесенная единица может складываться с битами следующего разряда.

Арифметическое вычитание одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам: