Диофантовы уравнения 5 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Система (5) может иметь решение, если

Легко проверить, что условие выполняется только для пары

Если то система (5) принимает вид

Итак, решением системы (5), а значит и исходного уравнения является пара чисел

Ответ.

71.Найдите все целые решения уравнения

Решение. 1. Так как то ОДЗ уравнения удовлетворяет системе неравенств:

Уравнение (1) равносильно уравнению

Уравнение (2), а значит и уравнение (1), может иметь решение в целых числах, если х и у, удовлетворяют системе неравенств

Из системы (3) следует, что

2. Решим уравнение (2), если и

1) Если то уравнение (2) принимает вид

Пара чисел является решением уравнения (2), а значит и уравнения (1).

2) Если то из двойного неравенства следует, что

Найдём решения уравнения (2), если и

а) Если то уравнение (2) принимает вид Решением уравнения (2), а значит и уравнения (1) является пара чисел

б) Если то уравнение (2) принимает вид

Оценим

Так как , то уравнение (2) не имеет решений. Тогда и уравнение (1) не имеет решений.

в) Если то уравнение (2) принимает вид

Так как то уравнение (2) не имеет решений. Тогда и уравнение (1) не имеет решений.

Ответ.

72. Решите в целых числах уравнение

Решение. 1. Очевидно, исходное уравнение равносильно уравнению

Отметим: где а ; тогда и только тогда, когда .

Так как и , то уравнение (1) равносильно системе:

2. Рассмотрим второе уравнение системы (2). Имеем:

Так как в уравнении (3) коэффициенты при х и n имеют общий множитель, равный 2, но свободный член не делится на 2, то уравнение (3), а значит и система (2), а также и исходное уравнение, не имеют решений в целых числах.

Ответ. Уравнение, не имеют решений в целых числах.

73. Решите уравнение в