Диофантовы уравнения 4 страница

Сумма неотрицательных чисел равна нулю только в случае, если каждое слагаемое равно нулю. Поэтому уравнение (2), а значит и уравнение (1) равносильно системе уравнений

Из первого уравнения системы (3) следует, что Так как то решениями системы (3), а значит и исходного уравнения, являются пары

Ответ.

62. Решите в целых числах уравнение

Решение. Докажем, что

Если то Если то из уравнения (1) следует, что

Предположение, что , привело к противоречию.

Таким образом, Тогда уравнение (1) равносильно уравнению

Найдём целые решения уравнение (2).

1. Сначала докажем, что

а) Пусть Так как то

б) Пусть и Так как то .

Пусть и Так как и то . Итак, если то

в) Если то уравнение (1) не имеет решений, так как это уравнение принимает вид

2. Найдём целые решения уравнения

а) Если то уравнение (2) не имеет решений в целых числах, так как левая часть уравнения (2) целое число , а правая часть не является целым числом.

б) Если то

Так как то из уравнения (3) следует, что Уравнение (3) может иметь решение, если и

Из уравнения (4) следует, что и

Если то решениями уравнения (4), а значит и уравнения (1), являются тройки чисел

Если то уравнения (4), а значит и уравнения (1), не имеет решений, так как положительное число.

в) Если то

Так как то из уравнения (4) следует, что Очевидно, не существует целого числа, удовлетворяющему условию

Ответ.

63. Докажите, что множество решений уравнения в натуральных числах бесконечно.

Решение.1. Пусть где удовлетворяют уравнению (1). Тогда имеем

Найдём значения такие, что Тогда уравнение (2) равносильно системе

Так как, например, удовлетворяют системе (3), то решением уравнения (1) является тройка чисел

2. Найдём значения при которых тройка чисел является решением уравнения (1) при любых натуральных значениях р. Имеем

Уравнение (4) имеет решение, например, если

Так как НОК(3; 5; 8)=120, то

Итак, тройка чисел является решением уравнения (1) при любых натуральных значениях р.

Ответ. Решений уравнения в натуральных числах бесконечно.

64. Докажите, что множество решений уравнения в целых числах бесконечно.

Решение. Пусть где удовлетворяет уравнению (1). Тогда имеем

Так как число равно кубу целого числа, то из уравнения (2) следует: если, например, то И так как то

Так как тройка чисел где является решением уравнению (2), то она решение и уравнения (1).

Ответ. Решений уравнения в целых числах бесконечно.

65. Решите уравнение в целых числах.

Решение.1. Имеем

Так как левая часть уравнение (2) чётное число, то уравнение может иметь решение, если и правая часть чётное число. Возможны два случая.

1. Если и чётные числа, то существуют числа такие, что Тогда уравнение (2) принимает вид

где

Таким образом, решением исходного уравнения является тройка где

2. Если и нечётные числа, то существуют числа такие, что Тогда уравнение (2) принимает вид

где

Таким образом, решением исходного уравнения является тройка где

Ответ. где

где

66. Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Решение. 1. Преобразуем уравнение (1):

2. Докажем, что числа взаимно простые.

Будем доказывать от противного.

Пусть числа не являются взаимно простыми. Тогда существуют числа такие, что Тогда

а) Из уравнения (3) следует, что и Если то Последнее уравнение не имеет решений, так как правая часть этого равенства делится на 3, а левая–не делится на 3. Итак,

б) Из уравнения (3) следует, что По предположение числа не являются взаимно простыми. Тогда Предположение, что числа не являются взаимно простыми, привело к противоречию.

Из а) и б) следует: числа являются взаимно простыми.

3. Если произведение взаимно простых чисел равно кубу целого числа, то каждое из этих чисел является кубом целого числа. Тогда существуют числа такие, что

Так как , то Тогда второе уравнение системы (4) равносильно системе

Так как левая часть уравнения кратна 3, а правая – не кратна 3, то система (5), а значит и уравнение (1), не имеет решений.

Ответ. Уравнение не имеет решений в целых числах.

67. Решите уравнение в целых числах.

Решение. 1. Очевидно,

Отметим, так как то из уравнения (2) (левая часть уравнения (2) является положительной) следует, что

Так как правая часть уравнения (2) является целым числом, то и левая часть – целое число. Тогда Так как левая часть уравнения (2) является неотрицательной степенью числа 3, то каждая из скобок левой части является неотрицательной степенью числа 3. Тогда из уравнения (2) следует: существуют неотрицательные числа такие, что

2. Рассмотрим систему (3).

а) Если то

Если то из уравнения (1) находим, что Пара чисел является решением уравнения (1). Итак, если то уравнение (1) имеет решение в целых числах.

б) Если то

в) Пусть Преобразуем систему (3).

Левая часть уравнения (4) не делится на 3, а правая часть уравнения (4) делится на 3. Тогда уравнение (4), а значит и уравнение (1), не имеет решений в целых числах.

Ответ.

68. Решите уравнение в натуральных числах.

Решение. 1. Замечание. Так как входят в уравнение симметрично, тогда, если решение уравнения, то решениями этого уравнения являются также тройки чисел

Так как входят в уравнение симметрично, то будем считать, что Тогда

а) Оценим х.

Так как то из неравенства следует: что

б) Оценим ху.

Имеем

Так как то из (2) следует, что

Кроме того Итак, получили

2. Найдём натуральные решения уравнения (1), если и

а). Если то Итак,

Из уравнения (3) следует, если то

Легко проверить: так как натуральное число, то только (при условии, что ) удовлетворяет уравнению (3). Из уравнения (3), если , то находим: Так как то тройка чисел является решением исходного уравнения (1).

б). Если то Итак,

Из уравнения (2) следует, если то

Легко проверить: так как натуральное число, то только (при условии, что ) удовлетворяет уравнению (4). Из уравнения (4), если , то находим, что Так как то тройка чисел является решением уравнения (1).

3. Если то решениями уравнения (1) являются тройки чисел Тогда из замечания следует, что, то решениями (1) уравнения являются тройки чисел

Ответ.

69.Найдите все натуральные решения уравнения

Решение. 1. Из уравнения следует: так как не чётное число, то и не чётное число. Это означает, что только одно из чисел или является не чётным числом. Тогда только или ( ).

Так как входят в уравнение симметрично, то, если тройка чисел решение уравнения, то решениями этого уравнения является также тройка чисел

2. Пусть Тогда исходное уравнение принимает вид В уравнении (1) правая часть не делится на 4, тогда и левая часть не делится на 4. Это возможно только в случае, если (если то делится на 4).