Диофантовы уравнения 2 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

3. Так как квадратное уравнение не имеет действительных корней, то уравнение (1) не имеет решений.

Ответ. где

39.Найдите все натуральные решения уравнения

Решение. 1. Уравнение (1) имеет решение, если

Легко проверить, что

Рассмотрим функцию если

Итак, если , то уравнение (1) может иметь решение.

Отметим, если , то из уравнения (1) следует, что

2. Представим уравнение (1) в виде где

Так как то

Коэффициент при равен нулю, если В этом случае уравнение (1) принимает вид

Так как х натуральное число, то Тогда

3. Оценим х.

Так как и , то Тогда из неравенства (3) следует, что

И так как натуральное число, то

Итак, если , то

Из (2) и (4), если то

Так как корнями квадратного уравнения являются и то целыми решениями неравенства (4) являются

4. Найдём натуральные решения уравнения (1), если

а) Если то уравнение (1) принимает вид Так как натуральное число, то Пара чисел является решением уравнения (1).

б) Если то уравнение (1) принимает вид уравнение (1) не имеет натуральных решений.

Ответ.

40.Найдите все натуральные решения уравнения

Решение. 1. Если то уравнение (1) принимает вид

Отметим:

Так как то

Неравенство (2) справедливо только в случае, когда а и с имеют одинаковый знак.

2. Пусть

Так как то Тогда уравнение (1)

принимает вид

Так как то натуральным решением уравнения (3), а значит и уравнения (1), является пара чисел

3. Пусть

Если то уравнение (1) принимает вид

Система (4) имеет решение для всех х и у, которые удовлетворяют условию Так как х и у натуральные числа то Решениями системы (4), а значит и уравнения (1), являются пары чисел

Ответ.

41.Решите уравнение в натуральных числах.

Решение. 1. Преобразуем уравнение (1):

Оценим х:

Так как х натуральное число, то из двойного неравенства следует, что

2. Найдём натуральные решения уравнения (2), если

а) Если то уравнение (2) принимает вид

Оценим

Из уравнения следует, что не чётное число. Так как не чётное число и , то

б) Если и то уравнения (2) принимает вид уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Если и то уравнения (2) принимает вид Так как натуральное число, то Из уравнения , где , следует, что . Итак, решением уравнения (1) является тройка чисел

в) Если то уравнение (2) принимает вид

Оценим

Из уравнения следует, что чётное число. Так как чётное число и , то

Если и то уравнение (2) принимает вид уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Ответ.

42.Найдите все целые решения уравнения

Решение. Очевидно,

Преобразуем уравнение (1) (выразим х через у)

Число целое, если

Из уравнения (2) найдём значения

у	-18	-4
5х

Так как то из таблицы следует, что является целым числом, если

Таким образом, решением уравнения (1) является пара

Ответ.

43.Найдите все целые решения уравнения

Надо найти все натуральные значения n, при которых является квадратом целого числа.

Рассмотрим следующие случаи.

1. Если то Тогда

Таким образом, решениями исходного уравнения являются пары

2. Если то не является квадратом целого числа.

3. Если то Тогда Таким образом, решениями исходного уравнения являются пары

4. Если то не является квадратом целого числа.

Отметим: квадрат целого числа не оканчивается цифрой 3. 5. Если то

оканчивается цифрой 3. Так как если оканчивается цифрой 3, то исходное уравнение не имеет решений в целых числах, если

Ответ.

44.Найдите все трёхзначные числа которые удовлетворяют условию

Решение. 1. Разложим левую часть уравнения (1) на множители:

Замечание: так как цифры числа то

2. Из замечания следует, что числа являются натуральными числами. Число оканчивается на 6. Так как то из уравнения (2) следует, что

3. Найдём решения уравнения (2), если

а) Если . то . Из уравнения (2) имеем

Так как то решения последнего уравнения являются Искомым числом является число

б) Если , то . Из уравнения (2) имеем

Так как то решения последнего уравнения являются Искомым числом является число

Ответ.

45.Найдите все двухзначные числа которые удовлетворяют условию

Решение. Имеем

Уравнение (1) является квадратным относительно а. Дискриминантквадратного уравнения (1):

Уравнение (1) может иметь решение в натуральных числах, если дискриминант иявляется полным квадратом.

2. Найдём значения при которых полный квадрат.

а)

Из двойного неравенства (2) следует: Так как цифра числа, то из (2) следует:

б) Легко проверить, что дискриминант является полным квадратом, если .

3. Найдём решения уравнения (1), если .

а) Если то из уравнения (1) находим, что не удовлетворяют условию

б) Если то из уравнения (1) находим, что удовлетворяют условию

Итак, числа 36 и 86 удовлетворяют условию задачи.

Ответ. 36 и 86.

46.Найдите все двузначные числа которые удовлетворяют условию

Решение. 1. Очевидно,

Оценим

Итак,

2. Из уравнения найдём а, если

а) Если то из уравнения (1) находим: Тогда

б) Если то из уравнения (1) находим: Тогда

в) Если то из уравнения (1) находим: не целое число.

Ответ. 24 и 45.

47.Найдите все трёхзначные числа которые удовлетворяют условию

Решение. Отметим:

1. Так как то

Квадратное уравнение (2) относительно может иметь решение в натуральных числах, если дискриминант является полным квадратом.

Пусть существует целое число т такое, что

Из уравнения (3) следует: так как чётное число, то и чётное число, а тогда т нечётное число.

Оценим

Так как то

Так как т нечётное число, то из (4) следует:

2. Из уравнения найдём с, если

а) Если , то

б) Если , то уравнение не имеет целых корней.

в) Если , то

Из а), в) следует, что

3. Из уравнения найдём , если

а) Если то уравнение (2) принимает вид

Так как то

б) Если то уравнение (2) принимает вид

Так как то

Ответ. 100 и 147.

48.Найдите все четырёхзначные числа которые удовлетворяют условию

Решение. Преобразуем уравнение (1):

Так как правая часть уравнения (2) кратно 11, то и левая часть уравнения (1) кратно 11. Так как то или

Найдём решения уравнения (2), если

1. Пусть

Если то уравнение (3) принимает вид

а) Так как то нечётное число.

б) Оценим нечётное число

Так как нечётное число и то

Найдём решения уравнения (2), если и

в) Если то уравнение (3) принимает вид

уравнение не имеет целых корней.

г) Если то уравнение (3) принимает вид

Если то Итак, искомое число 7557.

д) Если то уравнение (3) принимает вид

уравнение не имеет целых корней.

2. Пусть

Если то чётное число и кратно 3. Так как , то из равенства следует:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒