Диофантовы уравнения 3 страница
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image458.png)
Так как то Легко проверить, что пара не является решением уравнения
Ответ.7557.
49.Найдите все целые решения уравнения
Решение.1. Рассмотрим уравнение
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image465.png)
как квадратное относительно ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image466.png)
а) Найдём дискриминантквадратного уравнения (1):
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image467.png)
б) Найдём значения х, при которых Имеем
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image469.png)
Так как то ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image471.png)
Уравнение (3) может иметь целые решения, если является полным квадратом.
в) Найдём значение если ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image471.png)
Из таблицы следует: является полным квадратом, равным , если
Если то уравнение (3) принимает вид
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image479.png)
Из уравнения (4), находим что
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image480.png)
Так как то решениями исходного уравнения являются пары ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image482.png)
Ответ.
50.Решите уравнение в целых числах.
Решение. 1 Преобразуем уравнение
Таким образом, при любых уравнение (1) равносильно уравнению
Очевидно, Из уравнения (2) следует: так как то
Так как то целые положительные числа. Тогда представляем число 620 в виде
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image492.png)
Для каждой пары :
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image494.png)
решаем в целых числах систему уравнений
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image495.png)
Система (4) может иметь решение, если пары удовлетворяют условиям: чётное число и . Из (3) находим соответствующие пары : ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image498.png)
2. Решим систему (4), если или ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image500.png)
а) Если , то система (4) принимает вид
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image501.png)
Так как второе уравнение системы (5) не имеет решений в целых числах, то система (5), а значит и уравнение (1), не имеет решений в целых числах
б) Если то система (4) принимает вид
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image503.png)
Решениями в целых числах системы (6), а значит и уравнения (1), являются пары чисел ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image504.png)
Ответ. ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image504.png)
51.Решите уравнение в натуральных числах.
Решение. 1. Преобразуем уравнение (1). Выразим у через :
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image507.png)
Так как натуральные числа, то и Так как правая часть уравнения (2) меньше 4, то и левая часть уравнения (2) меньше 4 и при этом чётная. Это возможно, если . Тогда уравнения (2) принимает вид
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image513.png)
Так как натуральные числа, то из уравнения (3) следует, что Тогда
2. Найдём натуральные решения уравнения (1), если и
а) Пусть Тогда из уравнения (3) следует, что Итак, решением уравнения (3), а значит и уравнения (1), является тройка чисел ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image520.png)
2. Пусть Тогда из уравнения (3) следует, что Итак, решением уравнения (3), а значит и уравнения (1), является тройка чисел ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image523.png)
Ответ. ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image523.png)
52. Докажите, что уравнение не имеют решений в натуральных числах.
Решение. Так как натуральные числа, то отношение между ними является положительным числом. Тогда применим неравенство между средним арифметическим и между средним геометрическим и получим
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image526.png)
Так как последнее неравенство неверно, то исходное уравнение не имеет решений в натуральных числах.
Ответ. Уравнение не имеет решений в натуральных числах.
53. Докажите, что уравнение не имеет решений в натуральных числах.
Решение. Так как входят в уравнение симметрично, то будем считать, что
1) Очевидно, ни одна из переменных не равна 1.
2) Легко проверить: если три или четыре переменные равны 2, то уравнение (1) не имеет решений.
Отметим: если то ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image531.png)
3) Если две переменные равны 2, а остальные не меньше 3, то
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image532.png)
Так как то последнее неравенство неверно. Это означает, что в этом случае уравнение (1) не имеет решений.
4) Пусть одна переменная равна 2, а остальные не меньше 3.
Так как то
Так как то последнее неравенство неверно. Это означает, что в этом случае уравнение (1) не имеет решений.
Ответ. Уравнение не имеет решений в натуральных числах.
54. Докажите, что уравнение имеетрешение в нечётных целых числах.
Решение. Отметим: надо найти хотя бы одно решение в нечётных целых числах.
Очевидно,
Если то исходное уравнение принимает вид
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image540.png)
Так как то тройка чисел является решением исходного уравнения.
Отметим: так как входят в уравнение симметрично, то решениями исходного уравнения являются тройки чисел,
полученные перестановками чисел в тройке чисел ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image543.png)
Ответ. Уравнение имеет решения в нечётных целых числах.
55. Решите уравнение в натуральных числах.
Решение. 1. Так как входят в уравнение симметрично, то, если тройка чисел решение уравнения (1), то решениями уравнения являются также все тройки чисел, полученные всевозможными перестановками чисел в тройке ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image547.png)
Так как входят в уравнение симметрично, то будем считать, что
Оценим х:
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image549.png)
Уравнение (1) имеет решение в натуральных числах, если
2. Найдём натуральные решения уравнения (1), если
1) Если то уравнения (1) принимает вид ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image552.png)
Так как натуральные числа, то из уравнения (2) следует, что (в противном случае )
Оценим у. Так как то
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image557.png)
Так как то из двойного неравенства следует, что ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image560.png)
Рассмотрим уравнение (2), если ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image560.png)
а) Если то уравнение (2) принимает вид
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image562.png)
Так как то тройка чисел является решением уравнения (2), а значит и уравнения (1).
б) Если то уравнение (2) принимает вид
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image566.png)
Так как то тройка чисел является решением уравнения (2), а значит и уравнения (1).
2) Если то уравнения (1) принимает вид ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image570.png)
Так как натуральные числа, то из уравнения (3) следует, что .
Оценим у.
Так как то
Рассмотрим уравнение (3), если ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image574.png)
Если то уравнения (3) принимает вид
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image576.png)
Так как то тройка чисел является решением уравнения (3), а значит и уравнения (1).
3. Если то решениями уравнения являются тройки чисел Так как входят в уравнение симметрично, то решениями (1) уравнения являются и тройки чисел ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image583.png)
Ответ. ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image584.png)
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image585.png)
56. Решите уравнение в натуральных числах.
Решение. 1. Если то исходное уравнение принимает вид ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image588.png)
Решением уравнения является четвёртка чисел ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image589.png)
2. Если хотя бы из переменных больше 2, то
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image590.png)
Так как последнее неравенство неверно, то в этом случае уравнение (1) не имеет решений.
Ответ. ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image589.png)
57. Решите уравнение в целых числах.
Решение. 1. Так как входят в уравнение симметрично, то, если тройка чисел решение уравнения (1), то решениями уравнения являются также все тройки чисел, полученные перестановками чисел в тройке
Из уравнения (1) следует, что тройка чисел не является решением уравнения (1).
Так как то
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image594.png)
2. Рассмотрим уравнение (2), если . Так как входят в уравнение симметрично, то будем считать, что
Оценим
Так как то
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image599.png)
Так как , то ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image600.png)
Преобразуем уравнение (2).
Так как то
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image602.png)
Тогда
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image603.png)
Так как то
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image605.png)
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image606.png)
Так как левая часть уравнения (4) не отрицательная и то
Так как то ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image610.png)
3. Рассмотрим двойное неравенство ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image610.png)
а) Если и , то уравнению (5) удовлетворяет тройка чисел Легко проверить, что эта тройка чисел не является решением уравнения (1).
б) Если и , то уравнению (6) удовлетворяют тройки чисел Легко проверить, что тройка чисел является решением уравнения (1), а тройка чисел не является решением уравнения (1).
в) Если и , то уравнению (7) удовлетворяют тройки чисел Легко проверить, что тройка чисел является решением уравнения (1), а тройки чисел не является решением уравнения (1).
Итак, если натуральные числа и то решениями уравнения (1) являются тройки чисел Так как входят в уравнение симметрично, то решениями уравнения являются и тройки чисел ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image626.png)
4. Рассмотрим уравнение (2), если целые числа.
Из уравнения следует, что Тогда, если тройка чисел где натуральные числа, является решением уравнения (2), то решениями этого уравнения являются также тройки чисел . ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image631.png)
Ответ. ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image635.png)
58. Решите в целых числах уравнение
.
Решение. 1. Преобразуем
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image637.png)
Так как то уравнение (1) принимает вид
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image639.png)
Сумма неотрицательных чисел равна нулю только в случае, если каждое слагаемое равно нулю, поэтому уравнение (2), а значит и уравнение (1), равносильно системе уравнений
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image640.png)
Из первого уравнения системы (3) следует, что или ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image642.png)
2. Найдём решения системы (3).
а). Если то из третьего уравнения системы (3) следует:
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image643.png)
Так квадратное уравнение (4) не имеет целых корней, то система (3), а значит и исходное уравнение, не имеет решений в целых числах.
б) Если , то из третьего уравнения системы (3) следует:
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image645.png)
Корням последнего уравнения являются или
Так как (второе уравнения системы (3)) и то решениями системы (3), а значит и исходного уравнения, являются тройки чисел ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image651.png)
Ответ. ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image651.png)
59. Решите в натуральных числах уравнение
.
Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению
где ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image654.png)
Имеем
Сумма неотрицательных чисел равна нулю только в случае, если каждое слагаемое равно нулю, поэтому уравнение (3), а значит и уравнение (1), равносильно системе уравнений
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image656.png)
Решениями исходного уравнения, является пара чисел ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image657.png)
Ответ. ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image658.png)
60. Решите уравнение в натуральных числах
Решение. Оценим ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image660.png)
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image661.png)
Так как натуральные числа, то Тогда решением неравенства являются
Если то уравнения (1) принимает вид
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image667.png)
Так как то решением уравнения (1) является тройка чисел ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image669.png)
Ответ. ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image669.png)
61. Решите в целых числах уравнение
.
Решение. Преобразуем уравнение:
![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image671.png)
Итак, ![](https://helpiks.su/imgart/baza2/9170082120438.files/image672.png)
|