Диофантовы уравнения 3 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

Так как то Легко проверить, что пара не является решением уравнения

Ответ.7557.

49.Найдите все целые решения уравнения

Решение.1. Рассмотрим уравнение

как квадратное относительно

а) Найдём дискриминантквадратного уравнения (1):

б) Найдём значения х, при которых Имеем

Так как то

Уравнение (3) может иметь целые решения, если является полным квадратом.

в) Найдём значение если

Из таблицы следует: является полным квадратом, равным , если

Если то уравнение (3) принимает вид

Из уравнения (4), находим что

Так как то решениями исходного уравнения являются пары

Ответ.

50.Решите уравнение в целых числах.

Решение. 1 Преобразуем уравнение

Таким образом, при любых уравнение (1) равносильно уравнению

Очевидно, Из уравнения (2) следует: так как то

Так как то целые положительные числа. Тогда представляем число 620 в виде

Для каждой пары :

решаем в целых числах систему уравнений

Система (4) может иметь решение, если пары удовлетворяют условиям: чётное число и . Из (3) находим соответствующие пары :

2. Решим систему (4), если или

а) Если , то система (4) принимает вид

Так как второе уравнение системы (5) не имеет решений в целых числах, то система (5), а значит и уравнение (1), не имеет решений в целых числах

б) Если то система (4) принимает вид

Решениями в целых числах системы (6), а значит и уравнения (1), являются пары чисел

Ответ.

51.Решите уравнение в натуральных числах.

Решение. 1. Преобразуем уравнение (1). Выразим у через :

Так как натуральные числа, то и Так как правая часть уравнения (2) меньше 4, то и левая часть уравнения (2) меньше 4 и при этом чётная. Это возможно, если . Тогда уравнения (2) принимает вид

Так как натуральные числа, то из уравнения (3) следует, что Тогда

2. Найдём натуральные решения уравнения (1), если и

а) Пусть Тогда из уравнения (3) следует, что Итак, решением уравнения (3), а значит и уравнения (1), является тройка чисел

2. Пусть Тогда из уравнения (3) следует, что Итак, решением уравнения (3), а значит и уравнения (1), является тройка чисел

Ответ.

52. Докажите, что уравнение не имеют решений в натуральных числах.

Решение. Так как натуральные числа, то отношение между ними является положительным числом. Тогда применим неравенство между средним арифметическим и между средним геометрическим и получим

Так как последнее неравенство неверно, то исходное уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Ответ. Уравнение не имеет решений в натуральных числах.

53. Докажите, что уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Решение. Так как входят в уравнение симметрично, то будем считать, что

1) Очевидно, ни одна из переменных не равна 1.

2) Легко проверить: если три или четыре переменные равны 2, то уравнение (1) не имеет решений.

Отметим: если то

3) Если две переменные равны 2, а остальные не меньше 3, то

Так как то последнее неравенство неверно. Это означает, что в этом случае уравнение (1) не имеет решений.

4) Пусть одна переменная равна 2, а остальные не меньше 3.

Так как то

Так как то последнее неравенство неверно. Это означает, что в этом случае уравнение (1) не имеет решений.

Ответ. Уравнение не имеет решений в натуральных числах.

54. Докажите, что уравнение имеетрешение в нечётных целых числах.

Решение. Отметим: надо найти хотя бы одно решение в нечётных целых числах.

Очевидно,

Если то исходное уравнение принимает вид

Так как то тройка чисел является решением исходного уравнения.

Отметим: так как входят в уравнение симметрично, то решениями исходного уравнения являются тройки чисел,

полученные перестановками чисел в тройке чисел

Ответ. Уравнение имеет решения в нечётных целых числах.

55. Решите уравнение в натуральных числах.

Решение. 1. Так как входят в уравнение симметрично, то, если тройка чисел решение уравнения (1), то решениями уравнения являются также все тройки чисел, полученные всевозможными перестановками чисел в тройке

Так как входят в уравнение симметрично, то будем считать, что

Оценим х:

Уравнение (1) имеет решение в натуральных числах, если

2. Найдём натуральные решения уравнения (1), если

1) Если то уравнения (1) принимает вид

Так как натуральные числа, то из уравнения (2) следует, что (в противном случае )

Оценим у. Так как то

Так как то из двойного неравенства следует, что

Рассмотрим уравнение (2), если

а) Если то уравнение (2) принимает вид

Так как то тройка чисел является решением уравнения (2), а значит и уравнения (1).

б) Если то уравнение (2) принимает вид

Так как то тройка чисел является решением уравнения (2), а значит и уравнения (1).

2) Если то уравнения (1) принимает вид

Так как натуральные числа, то из уравнения (3) следует, что .

Оценим у.

Так как то

Рассмотрим уравнение (3), если

Если то уравнения (3) принимает вид

Так как то тройка чисел является решением уравнения (3), а значит и уравнения (1).

3. Если то решениями уравнения являются тройки чисел Так как входят в уравнение симметрично, то решениями (1) уравнения являются и тройки чисел

Ответ.

56. Решите уравнение в натуральных числах.

Решение. 1. Если то исходное уравнение принимает вид

Решением уравнения является четвёртка чисел

2. Если хотя бы из переменных больше 2, то

Так как последнее неравенство неверно, то в этом случае уравнение (1) не имеет решений.

Ответ.

57. Решите уравнение в целых числах.

Решение. 1. Так как входят в уравнение симметрично, то, если тройка чисел решение уравнения (1), то решениями уравнения являются также все тройки чисел, полученные перестановками чисел в тройке

Из уравнения (1) следует, что тройка чисел не является решением уравнения (1).

Так как то

2. Рассмотрим уравнение (2), если . Так как входят в уравнение симметрично, то будем считать, что

Оценим

Так как то

Так как , то

Преобразуем уравнение (2).

Так как то

Тогда

Так как то

Так как левая часть уравнения (4) не отрицательная и то

Так как то

3. Рассмотрим двойное неравенство

а) Если и , то уравнению (5) удовлетворяет тройка чисел Легко проверить, что эта тройка чисел не является решением уравнения (1).

б) Если и , то уравнению (6) удовлетворяют тройки чисел Легко проверить, что тройка чисел является решением уравнения (1), а тройка чисел не является решением уравнения (1).

в) Если и , то уравнению (7) удовлетворяют тройки чисел Легко проверить, что тройка чисел является решением уравнения (1), а тройки чисел не является решением уравнения (1).

Итак, если натуральные числа и то решениями уравнения (1) являются тройки чисел Так как входят в уравнение симметрично, то решениями уравнения являются и тройки чисел

4. Рассмотрим уравнение (2), если целые числа.

Из уравнения следует, что Тогда, если тройка чисел где натуральные числа, является решением уравнения (2), то решениями этого уравнения являются также тройки чисел .

Ответ.

58. Решите в целых числах уравнение

Решение. 1. Преобразуем

Так как то уравнение (1) принимает вид

Сумма неотрицательных чисел равна нулю только в случае, если каждое слагаемое равно нулю, поэтому уравнение (2), а значит и уравнение (1), равносильно системе уравнений

Из первого уравнения системы (3) следует, что или

2. Найдём решения системы (3).

а). Если то из третьего уравнения системы (3) следует:

Так квадратное уравнение (4) не имеет целых корней, то система (3), а значит и исходное уравнение, не имеет решений в целых числах.

б) Если , то из третьего уравнения системы (3) следует:

Корням последнего уравнения являются или

Так как (второе уравнения системы (3)) и то решениями системы (3), а значит и исходного уравнения, являются тройки чисел

Ответ.

59. Решите в натуральных числах уравнение

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

где

Имеем

Сумма неотрицательных чисел равна нулю только в случае, если каждое слагаемое равно нулю, поэтому уравнение (3), а значит и уравнение (1), равносильно системе уравнений