Диофантовы уравнения 1 страница

Стр 1 из 6Следующая ⇒

Диофантовы уравнения

(уравнения с двумя или большим числом неизвестных)

Дихтярь М.Б.

Вторая часть.

Разные задачи

30.Найдите все натуральные решения уравнения

Решение. 1. Рассмотрим уравнение (1) как квадратное уравнение относительно у:

а) Найдём дискриминантквадратного уравнения (1):

Квадратное уравнение (1) может иметь натуральные корни, если существует такое целое число а, что

б) Оценим а.

Так как х натуральное число, то . Тогда

Так как из уравнения (2) следует, что а чётное целое число, не равное нулю, то

в) Для из уравнения находим соответствующие значения х: (если то уравнение не имеет целых решений).

2. Найдём натуральные решения уравнения (1), если

а) Если то уравнение (1) принимает вид

Натуральным решением уравнения (1), а значит и исходного уравнения, является пара

б) Если то уравнение (1) принимает вид

Корнями последнего уравнения являются числа: . Натуральными решениями уравнения (1), а значит и исходного

уравнения, являются пары

Ответ.

31.Найдите все целые решения уравнения

Решение. 1.Рассмотрим уравнение (1) как квадратное относительно :

а) Найдём дискриминант :

б) Найдём , корни квадратного уравнения (2):

в) Так как , корни квадратного уравнения (2), то уравнение (2) равносильно уравнению

2. Найдём целые решения каждого уравнения совокупности (3).

1) Найдём целые решения уравнения .

Из уравнения (4) следует, что

а) Оценим у:

Так как и то

б) Найдём целые решения уравнения где

Если то из уравнения следует, что Итак, Таким образом, целыми решениями уравнения , а значит и исходного уравнения, являются пары:

2) Найдём целые решения уравнения .

Преобразуем уравнение

Левая часть уравнения (3) делится на 3. Правая часть этого

уравнения не делится на 3, так как при делении на 3 даёт остаток равный 0 или 1, а при делении на 3 даёт остаток равный 1 или 2. Поэтому, уравнение (5), а значит и исходное уравнение, не имеет решений в целых числах.

Ответ.

32.Найдите все целые решения уравнения

Решение. 1. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно

Так как у целое число, то

а) Найдём дискриминант :

б) Найдём и корни квадратного уравнения (2):

2. Найдём значения у, при которых и являются целыми числами.

Отметим: если то Пара является решением уравнения (1).

1) Преобразуем :

Число является целым числом, если Тогда

Отметим: если то решение уравнения (1) найдено. Пара является решением уравнения (1).

Найдём целые решения уравнения (3), а значит и уравнения (1), если

а) Если то из уравнения (3) находим, что Пара является решением уравнения (1).

б) Если то из уравнения (3) находим, что Пара является решением уравнения (1).

в) Если то из уравнения (3) находим, что Пара является решением уравнения (1).

2) Число является целым числом, если Тогда

Найдём целые решения уравнения (4), а значит и уравнения (1), если

Если то из уравнения (4) находим, что Пара является решением уравнения (1).

Ответ.

33.Докажите, что уравнения

не имеютрешений в целых числах.

Решение. 1) Преобразуем уравнение

Правая часть уравнения делится на 2. Уравнение может иметь решение, если и левая часть этого уравнения делится на 2. Левая часть уравнения (1) делится на 2, если х чётное число, то есть, если существуют число такое, что Тогда уравнение (1) принимает вид

Правая часть уравнения (2) чётное число, а левая часть нечётное число, поэтому уравнение (2), а значит и исходное уравнение, не имеет решений в целых числах.

2) Преобразуем уравнение

Левая часть уравнения (3) делится на 3. Так как при делении

на 3 число даёт остаток 0 или 1, а при делении на 3 число

даёт остаток 1 или 2, то правая часть уравнения (3) не делится на 3. Так как левая часть уравнения (3) делится на 3, а правая часть этого уравнения не делится на 3, то уравнение (3), а значит и исходное уравнение, не имеет решений в целых числах.

3) Так как правая часть уравнения нечётное число, то уравнение может иметь решение, если и левая часть этого уравнения нечётное число. Возможны два случая.

а) Две переменные чётные числа, а одна переменная нечётное число. Пусть чётные числа, а нечётное число. Тогда существуют числа такие, что

Уравнение (4) принимает вид

Так как левая часть уравнения (5) делится на 2, а правая часть этого уравнения не делится на 2, то уравнение (5), а значит и исходное уравнение, не имеет решений в целых числах.

б) Числа нечётные числа. Тогда существуют числа такие, что

Уравнение (4) принимает вид

Так как левая часть уравнения (6) чётное число, а правая часть этого уравнения нечётное число, то уравнение (6), а значит и исходное уравнение, не имеет решений в целых числах.

Из а) и б) следует, что уравнение (4) не имеет решений в целых числах.

4) Так как правая часть уравнения (7) чётное число, то уравнение (7) может иметь решение в целых числах, если и левая часть этого уравнения чётное число. Число чётное, если существует число такое, что Уравнение (7) принимает вид

Так как числа являются последовательными нечётными числами, то они являются взаимно простыми числами. Если произведение взаимно простых чисел равно квадрату целого числа, то каждое из этих чисел является квадратом целого числа. Тогда существуют числа такие, что

Так как , то Тогда уравнение равносильно системе

Так как то второе уравнение системы (8), а значит и исходное уравнение, не имеет решений.

5) Докажем, что чётное число.

а) Имеем: чётное число так как, если т чётное число, то чётное число, если т нечётное число, то чётное число, а тогда чётное число.

б) Так как чётное число, то нечётное число, а тогда и нечётное число.

в) Аналогично доказывается, что нечётное число.

г) Так как разность двух нечётных чисел чётное число, то

чётное число.

Уравнение не имеют решений, так как левая часть этого уравнения чётное число, а правая часть уравнения нечётное число.

34.Докажите, что уравнение имеетрешение в целых числах.

Решение. Докажем: если пара целых чисел является

решением уравнения то пара является решением уравнения

1. Найдём целое решение уравнения

Преобразуем уравнение (1):

Число является целым числом, если существует число такое, что Тогда Так как полный квадрат, то например, может принимать следующие значения:

Так как надо найти одно решение уравнения (1), то пусть Тогда и

Итак, решением уравнения (1) является пара

2. Докажем, что пара является решением уравнения Действительно,

Ответ. Уравнение имеет решения в целых числах.

35.Докажите, что уравнение имеетрешение в целых числах, если

Решение. Имеем

Так как и чётные числа, то система (1), а тогда и исходное уравнение, имеет решение в целых числах.

Ответ. Уравнение, имеет решение в целых числах.

36.Найдите все целые решения уравнения которые удовлетворяют условию .

Решение. 1. Очевидно,

Число является целым числом, если существует число

такое, что Тогда уравнение (1) принимает вид

а) Оценим

Так как то

Так как , то

б) Найдём значения при которых , полные квадраты.

Из таблицы следует, что и являются полными квадратами, если

2. Найдём целые решения уравнения (1), если где

а) Если , то Целыми решениями уравнения (1) являются пары

б) Если то Целыми решениями уравнения (1) являются пары

Ответ.

37.Решите уравнение в целых числах.

Решение. Из уравнения (1) следует:

Имеем

1. Рассмотрим уравнение (2) как квадратное относительно

а) Найдём дискриминантквадратного уравнения (2):

б) Найдём значения х, при которых

Так как целое число и то

Найдём значения , если

у	-1

Из таблицы следует, что полный квадрат, если Тогда

2. Найдём целые решения уравнение (2), если

а) Если то уравнение (2) принимает вид

Решениями уравнения (2), а значит и уравнение (1), является пара

б) Если то уравнение (2) принимает вид

Решениями уравнения (2), а значит и уравнение (1), является пара

Ответ.

38.Решите в целых числах уравнение

Решение. 1. Пусть Так как то Уравнение (1) принимает вид

2. Найдём целые решения уравнения (1), если

а) Если то

б) Найдём целые решения линейного уравнения которое имеет решение в целых числах, так как коэффициенты при х и у взаимно простые числа.

Преобразуем линейное уравнение (выразим х через у):

Число х является целым числом, если существует число такое, что Тогда из уравнения (3) находим: где

Таким образом, общим решением исходного уравнения является пара где

12 3 4 5 6 Следующая ⇒