![]()
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Диофантовы уравнения 1 страницаСтр 1 из 6Следующая ⇒ Диофантовы уравнения (уравнения с двумя или большим числом неизвестных) Дихтярь М.Б. Вторая часть. Разные задачи 30.Найдите все натуральные решения уравнения Решение. 1. Рассмотрим уравнение (1) как квадратное уравнение относительно у: а) Найдём дискриминантквадратного уравнения (1): Квадратное уравнение (1) может иметь натуральные корни, если существует такое целое число а, что б) Оценим а. Так как х натуральное число, то Так как из уравнения (2) следует, что а чётное целое число, не равное нулю, то в) Для 2. Найдём натуральные решения уравнения (1), если а) Если Натуральным решением уравнения (1), а значит и исходного уравнения, является пара б) Если Корнями последнего уравнения являются числа: уравнения, являются пары Ответ. 31.Найдите все целые решения уравнения
Решение. 1.Рассмотрим уравнение (1) как квадратное относительно а) Найдём дискриминант
в) Так как 2. Найдём целые решения каждого уравнения совокупности (3). 1) Найдём целые решения уравнения Из уравнения (4) следует, что а) Оценим у:
Так как б) Найдём целые решения уравнения Если 2) Найдём целые решения уравнения Преобразуем уравнение Левая часть уравнения (3) делится на 3. Правая часть этого уравнения не делится на 3, так как Ответ. 32.Найдите все целые решения уравнения Решение. 1. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно Так как у целое число, то а) Найдём дискриминант б) Найдём 2. Найдём значения у, при которых Отметим: если 1) Преобразуем Число Отметим: если Найдём целые решения уравнения (3), а значит и уравнения (1), если а) Если б) Если в) Если 2) Число Найдём целые решения уравнения (4), а значит и уравнения (1), если Если Ответ. 33.Докажите, что уравнения не имеютрешений в целых числах. Решение. 1) Преобразуем уравнение Правая часть уравнения делится на 2. Уравнение может иметь решение, если и левая часть этого уравнения делится на 2. Левая часть уравнения (1) делится на 2, если х чётное число, то есть, если существуют число Правая часть уравнения (2) чётное число, а левая часть нечётное число, поэтому уравнение (2), а значит и исходное уравнение, не имеет решений в целых числах. 2) Преобразуем уравнение Левая часть уравнения (3) делится на 3. Так как при делении на 3 число
3) Так как правая часть уравнения а) Две переменные чётные числа, а одна переменная нечётное число. Пусть Уравнение (4) принимает вид Так как левая часть уравнения (5) делится на 2, а правая часть этого уравнения не делится на 2, то уравнение (5), а значит и исходное уравнение, не имеет решений в целых числах. б) Числа
Уравнение (4) принимает вид Так как левая часть уравнения (6) чётное число, а правая часть этого уравнения нечётное число, то уравнение (6), а значит и исходное уравнение, не имеет решений в целых числах. Из а) и б) следует, что уравнение (4) не имеет решений в целых числах. 4) Так как правая часть уравнения Так как числа Так как Так как 5) Докажем, что а) Имеем: б) Так как в) Аналогично доказывается, что г) Так как разность двух нечётных чисел чётное число, то
Уравнение 34.Докажите, что уравнение Решение. Докажем: если пара решением уравнения 1. Найдём целое решение уравнения Преобразуем уравнение (1): Число Так как надо найти одно решение уравнения (1), то пусть Итак, решением уравнения (1) является пара 2. Докажем, что пара
Ответ. Уравнение имеет решения в целых числах. 35.Докажите, что уравнение Решение. Имеем Так как Ответ. Уравнение, имеет решение в целых числах. 36.Найдите все целые решения уравнения Решение. 1. Очевидно, Число а) Оценим Так как Так как Так как б) Найдём значения
Из таблицы следует, что 2. Найдём целые решения уравнения (1), если а) Если б) Если Ответ. 37.Решите уравнение Решение. Из уравнения (1) следует: Имеем 1. Рассмотрим уравнение (2) как квадратное относительно а) Найдём дискриминантквадратного уравнения (2): б) Найдём значения х, при которых Так как Найдём значения
Из таблицы следует, что 2. Найдём целые решения уравнение (2), если а) Если Решениями уравнения (2), а значит и уравнение (1), является пара б) Если Решениями уравнения (2), а значит и уравнение (1), является пара Ответ. 38.Решите в целых числах уравнение
Решение. 1. Пусть 2. Найдём целые решения уравнения (1), если а) Если б) Найдём целые решения линейного уравнения Преобразуем линейное уравнение (выразим х через у): Число х является целым числом, если существует число Таким образом, общим решением исходного уравнения является пара
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|