Утверждение 7.. Утверждение 8.. Утверждение 9.. Утверждение 10.

Утверждение 7.

Пусть область определения

функция

замкнута, а сама функция – непрерывна. Тогда, она хотя бы один раз принимает все промежуточные значения между своими наибольшим и наименьшим значениями.

Утверждение 8.

Пусть область определения

функция

замкнута. Тогда, если функция

непрерывна, то она ограничена.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ

Утверждение 9.

Пусть

. Тогда:

А если выполнено дополнительное условие

то

Утверждение 10.

Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных в точке

функций, непрерывна в этой точке.

Замечание: Пусть функция определена в окрестности точки и непрерывна в этой точке.Рассмотрим функции и ограничения функции на прямые, параллельные осям координат. Получим функции одной переменной, которые, очевидно, непрерывны.

Возникает вопрос, если функция определена в окрестности точки и ее ограничения на прямые, параллельные осям координат и непрерывны как функции одной переменной, достаточно ли этого, чтобы сама функция была непрерывна как функция 2 переменных? Следующий пример показывает, что данного условия недостаточно. То есть, существуют функции, непрерывные по каждому аргументу в отдельности при фиксированном втором, но не являющиеся непрерывными по совокупности переменных (это обусловлено тем, что для проверки непрерывности по совокупности переменных должно иметь место равенство: Здесь по всем возможным кривым, лежащим в области определения функции и соединяющим точки .

Пример 11.

Пусть .

Исследовать функцию на непрерывность в точке

Решение: Пусть .

принимает все значения из отрезка при различных . Поэтому, пределы данной функции по различным направлениям при различны. Следовательно, функция не является непрерывной в начале координат.

С другой стороны, если положить , то получим , а если положить , то получим функцию . Более того, непрерывны и функции как функции одной переменной. Например .

⇐ Предыдущая 1 2 3 45