|
|||||
Утверждение 1.. Утверждение 2.Утверждение 1.
Доказательство: Предположим противное. Пусть существуют как минимум два предела: . Тогда по определению, во-первых, как только . А во-вторых, для выбранного выше как только . Пусть любое, но фиксировано. Ему соответствуют . Рассмотрим . Так как , то для всех выполнены оба неравенства: и и Поскольку можно считать выбранным сколь угодно малым, получаем, что , что противоречит предположению. Таким образом, предположение о возможности существования двух различных конечных пределов функции в одной и той же точке неверно. Следовательно, если конечный предел функции в точке существует, то он единственный. Что и требовалось доказать.
Определение 24.
Утверждение 2.
Доказательство: Пусть выполнены условия утверждения. Введем обозначение: . По определению предела это означает, что как только . То есть, для выполнено двойное неравенство:
Пусть . Тогда при . Что и требовалось доказать.
|
|||||
|