Контакты

Случайная статья

Утверждение 1.. Утверждение 2.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Утверждение 1.

Пусть функция

определена в

точки

. Если существует

, то этот предел единственный.

Доказательство: Предположим противное.

Пусть существуют как минимум два предела: . Тогда по определению, во-первых, как только . А во-вторых, для выбранного выше как только

.

Пусть любое, но фиксировано. Ему соответствуют . Рассмотрим .

Так как , то для всех выполнены оба неравенства: и и

Поскольку можно считать выбранным сколь угодно малым, получаем, что , что противоречит предположению.

Таким образом, предположение о возможности существования двух различных конечных пределов функции в одной и той же точке неверно.

Следовательно, если конечный предел функции в точке существует, то он единственный.

Что и требовалось доказать.

Определение 24.

Пусть функция определена в точки . Функция называется бесконечно малой при , если существует

Утверждение 2.

Пусть функция

определена в

точки

. Если существует

, тогда

и

:

для всех

.

Доказательство: Пусть выполнены условия утверждения.

Введем обозначение: .

По определению предела это означает, что как только .

То есть, для выполнено двойное неравенство:

Пусть . Тогда при .

Что и требовалось доказать.

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.