ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Лекция 1.

Пространство

: определение, его множества. Функции нескольких переменных: определение, область определения, область значений, линии поверхности уровня, предел в точке. Непрерывность, точки разрыва.

ВВОДНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение 1.

Вещественным линейным пространством называется семейство упорядоченных групп из действительных чисел с введенными на этом множестве операциями сложения и умножения на вещественные числа: 1) 2)

Замечание: Можно легко проверить, что для , определенного выше, выполнены все аксиомы линейного пространства и что это пространство -мерно. Здесь полезно заглянуть в учебник по линейной алгебре и вспомнить аксиомы, определение -мерного пространства и понятие базиса.

Замечание: С геометрической точки зрения отождествляют с множеством точек . Вещественные числа называются координатами точки ,

Определение 2.

Множеством в называется любая часть этого пространства.

Определение 3.

Метрическим пространством называется множество с введенной на нем метрикой (расстоянием) . А именно: для каждой пары точек ставится в соответствие вещественное число , причем выполнены следующие аксиомы. : 1) 2) 3)

Замечание:с геометрической точки зрения 1) означает, что расстояние между любыми двумя точками неотрицательно и равно нулю лишь в том случае, когда точки совпадают; 2) означает, что расстояние одинаково в обе стороны, а 3), что расстояние между двумя точками не превосходит суммы расстояний от этих точек, до третьей точки (напрямую идти не длиннее, чем если заходить куда-нибудь по дороге).

Замечание:В пространстве определено естественное расстояние между любыми двумя точками и по формуле: .

Определение 4.

Открытым шаром в с центром в точке радиуса называется множество точек , удовлетворяющих условию: .

Определение 5.

Замкнутым шаром в с центром в точке радиуса называется множество точек , удовлетворяющих условию: .

Определение 6.

-окрестностью точки называется открытый шар радиуса с центром в этой точке.

.

Обозначение: .

Определение 7.

Проколотая -окрестность точки получается из -окрестности точки после выкалывания самой точки .

.

Обозначение:

Определение 8.

Пусть множество . Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность .

Определение 9.

Пусть множество . Множество называется открытым, если все его точки внутренние.

Определение 10.

Пусть точка . Любое открытое множество , такое, что , называется окрестностью точки .

Обозначение: .

Определение 11.

Пусть множество . Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее окрестности есть как точки, принадлежащие множеству , так и точки, не принадлежащие множеству . Множество всех граничных точек называется границей множества .

.

Обозначение: .

Определение 12.

Пусть множество . Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Определение 13.

Пусть множество . Множество , полученное присоединением к множеству всех его граничных точек, называется замыканием множества .

.

Определение 14.

Пусть множество . Множество называется ограниченным, если , такое что .

Определение 15.

Пусть множество . Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат .

Замечание:Пусть открытое множество в , . Тогда, по определению, существует кривая такая, что: непрерывны как функции одной переменной на отрезке для каждого .



Определение 16.

Областью в называется любое открытое связное множество . Если область в , то называется замкнутой областью.

Определение 17.

Область в называется односвязной, если ее граница состоит из одного куска. Двусвязной, если ровно из 2 отдельных кусков, трехсвязной, если ровно из 3 и так далее.



ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение 18.

Пусть . Если любой точке поставлено в соответствие единственное число , то говорят, что на множестве задана функция переменных:

Определение 19.

Множество на котором функция определена, называется областью определения данной функции и обозначается . Множество называется областью значений функции.

Функции многих переменных могут быть заданы аналитически, графически или таблицей.

Самый общий метод задания функции многих переменных – аналитический. Таблицей и графиком удобно задавать функции 2 переменных.

Пример 1.

Площадь прямоугольника со сторонами выражается формулой:

То есть, функция 2 переменных.

Для нее: ; .

Пример 2.

Объем идеального газа выражается через функцию упругости и температуру по формуле:

(уравнение Менделеева-Клайперона).

Пример 3.

Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами выражается формулой:

То есть, функция 3 переменных.

Для нее: ; .

Пример 4.

Формула сила тока, напряжение,   время, задает количество тепла , выделенного электрическим током за время .

Определение 20.

Графиком функции , где , называется множество точек -мерного пространства, координаты которых связаны соотношением: (

Замечание:с геометрической точки зрения функцию переменных можно отождествить с некоторой поверхностью в пространстве .

При этом, графически удобно изображать функцию 2 переменных.

Пример 5.

Рассмотрим функцию

функция 2 переменных.

; . Графиком функции является параболоид вращения в пространстве .

Пример 6.

Рассмотрим функцию

функция 3 переменных.

эллипсоид. .

Определение 21.

Линией уровня функции называется множество точек в , в каждой из которых функция принимает одно и то же значение: .

Определение 21.

Совокупность линий уровня, соответствующих различным значениям , указанным на этих линиях, называется сетью кривых функции

Замечание: сеть кривых, при условии, что она проведена для мало отличающихся друг от друга значений , наглядно характеризует поведение функции при любом изменении ее аргумента .

Пример 7.

Рассмотрим функцию Построим для нее линии уровня:



В уравнении придадим значения

При получим точку .

При получим окружность с центром в точке радиуса

При получим окружность с центром в точке радиуса

При получим окружность с центром в точке радиуса

При получим окружность с центром в точке радиуса

В общем случае, придадим значения где положительное число. Такая сеть функций называется равномерной. Чем быстрее изменяется функция, тем гуще сеть.

Замечание: Линии уровня применяют, например, в топографии. «Горизонталями» называют на карте линии уровня функции высоты точки над уровнем моря. В метеорологии пользуются сетями «изотерм» (линии одинаковой температуры) и «изобар» (линии одинакового давления).

Определение 22.

Поверхностью уровня функции называется множество точек в , в каждой из которых функция принимает одно и то же значение: .

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

    Напомним, что проколотая окрестность точки это:

, где любое открытое множество, содержащее точку .

Проколотая -окрестность точки это:

где а

Определение 23.(конечного предела в точке)

Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности   точки . Число называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого найдется такое число , что для всех точек справедливо равенство: .

Обозначение: , Или:

Замечание: В приведенном выше определении по любой кривой, лежащей в и соединяющей точки .

Или коротко:

Определение 23.1

Пусть функция определена в   точки . , если как только .

Ниже перечислены основные свойства пределов функции в точке, аналогичные соответствующим свойствам предела для функции одной переменной. При изучении функции одной переменной, сразу после определения предела через эпсилон-дельта, было дано определение бесконечно-малой функции. Далее, были сформулированы и доказаны свойства бесконечно-малых и, уже опираясь на эти свойства, проведено доказательство свойств предела. Поскольку для функции многих переменных все эти рассуждения можно провести аналогично, ниже будет дан вывод всех вышеуказанных свойств в другом порядке. А именно, будет доказано утверждение 3 о свойствах предела с использованием только определения предела через эпсилон-дельта, а затем из них выведены свойства бесконечно-малых. Доказательства в таком порядке сложнее, но полезнее для лучшего понимания как понятия предела через эпсилон-дельта, так и собственно свойств предела функции в точке.

СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ПРЕДЕЛОВ В ТОЧКЕ

12 3 4 5 Следующая ⇒