Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

Утверждение 4.. Утверждение 5.

Утверждение 4.

Пусть функция  определена в   точки  и существует  Тогда в некоторой  функция может быть представлена как: , где  бесконечно-малая при .

Доказательство:

Пусть выполнены условия утверждения.

Тогда . Положим .

Это означает, что  бесконечно-малая при . Кроме того, .

Что и требовалось доказать.

Утверждение 5.

Пусть    определены в  и являются бесконечно малыми функциями при , ,  ограниченная в  функция.  Тогда: бесконечно-малые функции при

Доказательство: Пусть выполнены все условия теоремы.

1) Докажем, что  бесконечно-малая функция при . Поскольку  бесконечно малая при , то, по определению бесконечно-малой функции, существует  

Тогда: . А это и означает, что  бесконечно-малая функция при .

2) Докажем, что  бесконечно-малая функция при . Поскольку  бесконечно малые при , то, по определению бесконечно-малой функции, существуют  и

Тогда: . А это и означает, что  бесконечно-малая функция при .

3) Докажем, что  бесконечно-малая функция при . Поскольку  бесконечно малые при , то, по определению бесконечно-малой функции, существуют  и

Тогда: .

А это и означает, что  бесконечно-малая функция при .

4) Докажем, что  бесконечно-малая функция при .

Функция  ограничена в . Это означает, что :  для всех .

Тогда:  для .

Поскольку  бесконечно малая при , то, по определению бесконечно-малой функции, существует  По определению предела это означает, что для всех достаточно близких к  точек  

То есть, для всех достаточно близких к  точек  

Следовательно, существует  и  бесконечно-малая функция при .

Что и требовалось доказать.

Пример 8.

Решение:

Пусть  (то есть,  по оси ). Тогда:

Пусть  (то есть,  по оси ). Тогда:

Получаем разные пределы по двум разным направлениям. Значит, функция не имеет предела в точке .

Ответ: предела не существует.

Пример 9.

Решение:

Ответ: 2.

Если точка находится на границе области определения, то используют следующее определение предела функции в точке:

Определение 23.2

Пусть функция  определена на множестве , где   , если  как только .

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

 

Определение 25.

Пусть функция  определена в окрестности  точки  где  Функция  называется непрерывной в точке , если существует   Или:

 

Обозначение:

Определение 25.1

Пусть функция  определена на множестве , где  Функция  называется непрерывной в точке , если существует  ( в смысле определения 23.2)

 

Замечание: Если  изолированная точка области определения функции , то  Следует из определения 25.1, так как изолированная точка принадлежит границе области определения.

Замечание: Для непрерывности функции , в точке  необходимо выполнение 3 условий:

1)  должна быть определена в какой-нибудь окрестности точки  или же  должна быть граничной точкой области определения и функция должна быть в ней определена.

2)  должна иметь предел, когда точка  произвольно стремится к точке  

3) Этот предел должен совпадать со значением функции в точке .

 

Определение 26.

Пусть  определена в окрестности  точки  где  а  достаточно маленькие, чтобы   Полным приращением функции  в точке  называется:

 

Замечание: Если , то  

Определение 27.

Пусть функция  определена на множестве . Функция  называется непрерывной на множестве  если она непрерывна в каждой точке этого множества.

 

Замечание: Геометрически, непрерывность функции означает, что график непрерывной функции представляет собой сплошную поверхность без разрывов. В частности, для функции  двух переменных это значит, что апликаты ее графика, соответствующие двум точкам плоскости , как угодно мало отличаются друг от друга, если расстояние между этими точками достаточно мало.

Определение 28.

Пусть функция  определена на множестве . Точка  называется точкой разрыва функции , если: 1)        Либо 2) Либо  определена в некоторой окрестности ,  но не является непрерывной в этой точке (соответствующий предел  либо не существует, либо существует, но .

Пример 10.

Найти точки непрерывности и точки разрыва функции .

Решение: . Во всех этих точках функция непрерывна.

 множество точек разрыва функции .

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Замечание: Для непрерывных функций многих переменных верны теоремы, аналогичные теоремам для функций одной переменной. Ниже они приводятся без доказательства.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ЗАМКНУТОМ МНОЖЕСТВЕ.

 Утверждение 6.

Пусть область определения  функция  замкнута. Тогда, если функция  непрерывна, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений