![]()
|
||||||||
Утверждение 3.Утверждение 3.
Доказательство: Пусть выполнены все условия теоремы. Введем обозначения: 1) Докажем существование соответствующего предела и равенства
Поскольку А это и означает, по определению предела, и то, что вышеуказанный предел существует, и то, что имеет место соответствующее равенство. 2) Докажем существование соответствующего предела и равенства
Поскольку В то же время, по условию, Рассмотрим Так как Тогда для А это и означает, по определению предела, и то, что вышеуказанный предел существует, и то, что имеет место соответствующее равенство. 3) Докажем существование соответствующего предела и равенства
Пусть вначале Если
Для Тогда получаем: Получаем, что Таким образом, в этом частном случае утверждение доказано. Пусть теперь По условию, В то же время, в силу утверждения 2: Поскольку Рассмотрим Так как Тогда
для А это и означает, по определению предела, и то, что вышеуказанный предел существует, и то, что имеет место соответствующее равенство. 4) Докажем существование соответствующего предела и равенства
при условии, что Покажем вначале, что так как В самом деле, по определению предела для Тогда: в Пусть Далее, рассмотрим частный случай, когда
Для Тогда получаем: Получаем, что Таким образом, в этом частном случае утверждение доказано. Пусть теперь Поскольку Так как Рассмотрим Так как Тогда
А это и означает, по определению предела, и то, что вышеуказанный предел существует, и то, что имеет место соответствующее равенство. Утверждение полностью доказано.
|
||||||||
|