Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

Утверждение 3.

Утверждение 3.

Пусть функции  и  определены в   точки , . Если существуют пределы  и , то существуют пределы: , . Если же, кроме того, если   , то существует предел . При этом имеют место равенства: =

Доказательство: Пусть выполнены все условия теоремы.

Введем обозначения: , .

1) Докажем существование соответствующего предела и равенства

Поскольку , то это означает по определению, что

 как только . Тогда  такое, что выполнено неравенство:  для .

А это и означает, по определению предела, и то, что вышеуказанный предел существует, и то, что имеет место соответствующее равенство.

2) Докажем существование соответствующего предела и равенства

Поскольку , то это означает по определению, что

 как только .

В то же время, по условию, . это означает по определению, что для выбранного выше  как только .

Рассмотрим .

Так как , то для всех        выполнены оба неравенства:  и  .

Тогда  существует вышеуказанное  такое, что выполняется неравенство:

для .

А это и означает, по определению предела, и то, что вышеуказанный предел существует, и то, что имеет место соответствующее равенство.

3) Докажем существование соответствующего предела и равенства

Пусть вначале . По условию, . это означает, в силу утверждения 2, что:

 и :  для всех .

Если  тогда по определению предела:

  как только .

Для  получаем, что так как , то для всех  выполнены оба неравенства:  .

Тогда получаем:

Получаем, что

Таким образом, в этом частном случае утверждение доказано.

Пусть теперь .

По условию, . это означает по определению, что для  как только .

В то же время, в силу утверждения 2:

 и :  для всех .

Поскольку , то это означает по определению, что для выбранного выше   как только

.

Рассмотрим .

Так как , то для всех  выполнены три неравенства:  и  .

Тогда  существует вышеуказанное  такое, что выполняется неравенство:

для .

А это и означает, по определению предела, и то, что вышеуказанный предел существует, и то, что имеет место соответствующее равенство.

4) Докажем существование соответствующего предела и равенства

при условии, что  

Покажем вначале, что так как , то  для которого  и :  для всех .

В самом деле, по определению предела для :

Тогда:

в .

Пусть . Из вышесказанного ясно, что  для всех .

Далее, рассмотрим частный случай, когда . По определению предела:

как только .

Для  получаем, что так как , то для всех  выполнены оба неравенства:  .

Тогда получаем:

Получаем, что

Таким образом, в этом частном случае утверждение доказано.

Пусть теперь .

Поскольку  то как только .

Так как . Это означает, что для выбранного выше   как только .

Рассмотрим .

Так как , то для всех  выполнены оба неравенства:  и  .

Тогда  существует вышеуказанное  такое, что выполняется неравенство:

А это и означает, по определению предела, и то, что вышеуказанный предел существует, и то, что имеет место соответствующее равенство.

Утверждение полностью доказано.