Эллиптические параболоиды. Конусы

Преобразование сжатия прямого кругового конуса к коор­динатной плоскости Охг с коэффициентом дает эллипти­ческий конус. Его уравнение имеет вид

или, после переобозначения параметров,

Уравнение называют каноническим уравнением эллиптического конуса. Эллиптический конус при  совпадает с прямым круговым конусом, и оба они являются поверхностями второго порядка

7. Метод сечений

Для выяснения формы поверхности в пространстве по ее уравнению

часто используют так называемый метод сечений. Он со­стоит в анализе пересечений поверхности с плоскостями, парал­лельными координатным плоскостям, например с плоскостями вида где параметр с пробегает все действительные значения. Для каждого значения с система уравнений

задает соответствующее пересечение. Критерием принадлеж­ности точки этому пересечению являются следующие условия: а) б) координаты ее проекции на ко­ординатную плоскость , т.е. координаты точки  удовлетворяют уравнению

Зная эти пересечения, т.е. кривые , можно предста­вить форму поверхности. Отметим, что указанный „рентген" поверхности можно проводить другими плоскостями, но они должны быть параллельными между собой.

Обычно при исследовании формы поверхности методом се­чений используют две точки зрения на уравнение. Пер­вая состоит в том, что его интерпретируют как уравнение проекции на координатную плоскость : сечения. Со­гласно второй точке зрения предполагают, что в секущей плос­кости имеется прямоугольная система координат с началом в точке пересечения секущей плоскости с осью ( : и осями,  и которые проектируются на соответствующие оси и

 системы координат . Это позволяет говорить о

как об уравнении сечения в секущей плоскости.

Пример. В качестве примера рассмотрим уравнение эллиптического параболоида

и исследуем его форму методом сечений.

Пересечение этой поверхности с плоскостью описывается уравнением

При пересечение пусто, при i оно совпадает с началом системы координат а при 0 представляет собой эллипс

Оси этого эллипса с ростом параметра увеличиваются, и можно представить форму поверхности. Кстати, слово „эллиптический" в названии поверхности и указывает на то, что среди ее сечений имеются эллипсы.

Пересечения этой же поверхности как с плоскостью , так и с плоскостью  представляют собой параболы

и

соответственно. Параболы в каждом из этих семейств сече­ний имеют равные параметры (они не зависят от значения с). Эти сечения позволяют дать еще одно геометрическое постро­ение эллиптического параболоида. Рассмотрим параболу  находящуюся в плоскости и аналогичную параболу

в плоскости " . Пусть вторая парабола

перемещается в пространстве так, что:

- вершина параболы все время находится на параболе

- ось параболы . параллельна оси параболы

- плоскость параболы перпендикулярна плоскости пара­болы . .

Тогда в результате такого перемещения и образуется элли­птический параболоид. При этом роли парабол можно поменять,, т.е. перемещать параболу используя параболу  как направляющую.   

Уравнение

отличается от уравнения эллиптического параболоида лишь знаком одного слагаемого и тоже задает поверхность вто­рого порядка. Ее называют гиперболическим параболои­дом, а само уравнение— каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Исследуем вид гиперболического параболоида методом се­чений. Его пересечения с плоскостями при любом значе­нии с являются параболами:

Пересечения с плоскостями тоже при всех значениях с являются параболами:

Обозначим через параболу, находящуюся в сечении  а через — аналогичную параболу в сечении Перемещая, как и выше, параболу по параболе , получаем седлообразную поверхность гиперболического пара­болоида.

Пересечения гиперболического параболоида с плоскостями при являются гиперболами

а при - парой пересекающихся прямых

Выбор названия поверхности объясняется характером се­чений: горизонтальные сечения гиперболического параболои­да — это гиперболы, а два других семейства рассмотренных сечений — параболы.