Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья





Эллиптические параболоиды. Конусы



5. Эллиптические параболоиды

При вращении параболы вокруг ее оси получаем парабо­лоид вращения . Чтобы найти его уравнение, выберем прямоугольную систему координат, направив ось  по оси вращения и совместив координатную плоскость с

плоскостью параболы. Пусть при этом парабола описывается уравнением Тогда для получения уравнения поверхности вращения нужно заменить в этом уравнении на :

Преобразование сжатия параболоида вращения к коорди­натной плоскости с коэффициентом / дает поверхность более общего вида — эллиптиче­ский параболоид, уравнением ко­торого будет

После переобозначения параметров получаем каноническое уравне­ние эллиптического параболо­ида

Видим, что эллиптический параболоид является поверхно

стью вто­рого порядка. При он превращается в параболоид вра­щения.

6. Конусы

При вращении прямой пересекающейся с осью враще­ния, образуется прямой круговой конус. Точка пересечения вращающейся прямой с осью вращения остается неподвижной, ее назы­вают вершиной конуса.

Как и ранее, уравнение будем выводить в прямоугольной системе координат, ось  которой совпадает с осью вращения, а качало системы координат — с верши­ной конуса. Ось расположим так, чтобы прямая _ находилась в координатной плоскости и описывалась уравнением В этой системе координат

 уравнение поверхности вращения получается из уравнения прямой заменой на .  В результате такой замены получаем

 Возведя уравнение в квадрат, придем к соот­
ношению а разделив его на   получим
каноническое уравнение прямого кругового конуса

Преобразование сжатия прямого кругового конуса к коор­динатной плоскости Охг с коэффициентом дает эллипти­ческий конус. Его уравнение имеет вид

или, после переобозначения параметров,

 

Уравнение называют каноническим уравнением эллиптического конуса. Эллиптический конус при  совпадает с прямым круговым конусом, и оба они являются поверхностями второго порядка

7. Метод сечений

Для выяснения формы поверхности в пространстве по ее уравнению

 

часто используют так называемый метод сечений. Он со­стоит в анализе пересечений поверхности с плоскостями, парал­лельными координатным плоскостям, например с плоскостями вида где параметр с пробегает все действительные значения. Для каждого значения с система уравнений

 

задает соответствующее пересечение. Критерием принадлеж­ности точки этому пересечению являются следующие условия: а) б) координаты ее проекции на ко­ординатную плоскость , т.е. координаты точки  удовлетворяют уравнению

Зная эти пересечения, т.е. кривые , можно предста­вить форму поверхности. Отметим, что указанный „рентген" поверхности можно проводить другими плоскостями, но они должны быть параллельными между собой.

Обычно при исследовании формы поверхности методом се­чений используют две точки зрения на уравнение. Пер­вая состоит в том, что его интерпретируют как уравнение проекции на координатную плоскость : сечения. Со­гласно второй точке зрения предполагают, что в секущей плос­кости имеется прямоугольная система координат с началом в точке пересечения секущей плоскости с осью ( : и осями,  и которые проектируются на соответствующие оси и

 системы координат . Это позволяет говорить о

как об уравнении сечения в секущей плоскости.

Пример. В качестве примера рассмотрим уравнение эллиптического параболоида

и исследуем его форму методом сечений.

Пересечение этой поверхности с плоскостью описывается уравнением

При пересечение пусто, при i оно совпадает с началом системы координат а при 0 представляет собой эллипс

Оси этого эллипса с ростом параметра увеличиваются, и можно представить форму поверхности. Кстати, слово „эллиптический" в названии поверхности и указывает на то, что среди ее сечений имеются эллипсы.

Пересечения этой же поверхности как с плоскостью , так и с плоскостью  представляют собой параболы

и

соответственно. Параболы в каждом из этих семейств сече­ний имеют равные параметры (они не зависят от значения с). Эти сечения позволяют дать еще одно геометрическое постро­ение эллиптического параболоида. Рассмотрим параболу  находящуюся в плоскости и аналогичную параболу


 

 

в плоскости " . Пусть вторая парабола

перемещается в пространстве так, что:

- вершина параболы все время находится на параболе

- ось параболы . параллельна оси параболы

- плоскость параболы перпендикулярна плоскости пара­болы . .

Тогда в результате такого перемещения и образуется элли­птический параболоид. При этом роли парабол можно поменять,, т.е. перемещать параболу используя параболу  как направляющую.   

Уравнение

 

отличается от уравнения эллиптического параболоида лишь знаком одного слагаемого и тоже задает поверхность вто­рого порядка. Ее называют гиперболическим параболои­дом, а само уравнение— каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Исследуем вид гиперболического параболоида методом се­чений. Его пересечения с плоскостями при любом значе­нии с являются параболами:

Пересечения с плоскостями тоже при всех значениях с являются параболами:

Обозначим через параболу, находящуюся в сечении  а через — аналогичную параболу в сечении Перемещая, как и выше, параболу по параболе , получаем седлообразную поверхность гиперболического пара­болоида.

Пересечения гиперболического параболоида с плоскостями при являются гиперболами

а при - парой пересекающихся прямых

Выбор названия поверхности объясняется характером се­чений: горизонтальные сечения гиперболического параболои­да — это гиперболы, а два других семейства рассмотренных сечений — параболы.

 



  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.