![]()
|
||||||||
Эллиптические параболоиды. Конусы ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 5. Эллиптические параболоиды При вращении параболы вокруг ее оси получаем параболоид вращения . Чтобы найти его уравнение, выберем прямоугольную систему координат, направив ось плоскостью параболы. Пусть при этом парабола описывается уравнением Преобразование сжатия параболоида вращения к координатной плоскости
Видим, что эллиптический параболоид является поверхно стью второго порядка. При 6. Конусы При вращении прямой Как и ранее, уравнение будем выводить в прямоугольной системе координат, ось
Возведя уравнение в квадрат, придем к соот Преобразование сжатия прямого кругового конуса к координатной плоскости Охг с коэффициентом или, после переобозначения параметров,
Уравнение называют каноническим уравнением эллиптического конуса. Эллиптический конус при 7. Метод сечений Для выяснения формы поверхности в пространстве по ее уравнению
часто используют так называемый метод сечений. Он состоит в анализе пересечений поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям, например с плоскостями вида
задает соответствующее пересечение. Критерием принадлежности точки Зная эти пересечения, т.е. кривые , можно представить форму поверхности. Отметим, что указанный „рентген" поверхности можно проводить другими плоскостями, но они должны быть параллельными между собой. Обычно при исследовании формы поверхности методом сечений используют две точки зрения на уравнение. Первая состоит в том, что его интерпретируют как уравнение проекции на координатную плоскость :
как об уравнении сечения в секущей плоскости. Пример. В качестве примера рассмотрим уравнение эллиптического параболоида и исследуем его форму методом сечений. Пересечение этой поверхности с плоскостью При Оси этого эллипса с ростом параметра Пересечения этой же поверхности как с плоскостью и соответственно. Параболы в каждом из этих семейств сечений имеют равные параметры (они не зависят от значения с). Эти сечения позволяют дать еще одно геометрическое построение эллиптического параболоида. Рассмотрим параболу
в плоскости перемещается в пространстве так, что: - вершина параболы - ось параболы . - плоскость параболы Тогда в результате такого перемещения и образуется эллиптический параболоид. При этом роли парабол Уравнение
отличается от уравнения эллиптического параболоида лишь знаком одного слагаемого и тоже задает поверхность второго порядка. Ее называют гиперболическим параболоидом, а само уравнение— каноническим уравнением гиперболического параболоида. Исследуем вид гиперболического параболоида методом сечений. Его пересечения с плоскостями Пересечения с плоскостями Обозначим через Пересечения гиперболического параболоида с плоскостями а при Выбор названия поверхности объясняется характером сечений: горизонтальные сечения гиперболического параболоида — это гиперболы, а два других семейства рассмотренных сечений — параболы.
|
||||||||
|