Векторным произведением a´b векторов a, b называют вектор дополнительный к их внешнему произведению aÙb

Векторным произведением a´b векторов a, b называют вектор дополнительный к их внешнему произведению aÙb

a´b=( aÙb)^{^}

Касательная плоскость

Пусть M — элементарная поверхность в Aⁿ с параметризацией

r = r(u,v),

p — точка поверхности M , r₀ = r(u₀,v₀) — ее радиус вектор. В силу регулярности значения

частных производных вектор-функции r₀ = r(u₀,v₀) в точке (u₀,v₀) линейно независимы, поэтому бивектор r_u₀ Ù r_v₀ отличен от нуля.

Векторы r_u₀ и r_v₀ определяют двумерную плоскость, проходящую через точку p = g(u₀,v₀) с направляющим бивектором r_u₀ Ù r_v₀

Касательной плоскостью поверхности M в точке p₀ называют плоскость, векторное параметрической уравнение которой имеет вид

r = r₀ + ar_u₀ + br_v₀,

где a, b — параметры. Соответствующее подпространство ассоциированного линеала V (состоящего из векторов ar_u₀ + br_v₀) обозначается символом K_p₀M и называется касательным подпространством.

Векторы подпространства K_p₀M обозначаются dr, а их координаты в базисе (r_u₀, r_v₀) символами du и dv.

Первая квадратичная форма

Пространство Aⁿ считаем евклидовым. Евклидова структура будет и у касательного подпространства K_p₀M.

Квадрат длины произвольного вектора подпространства K_p₀M выражается формулой

(6) I(dr) = dr² = Edu²+2Fdudv+Gdv²,

где

E = (r_u₀)², F = r_u₀•r_v₀ , G = (r_v₀)²

— метрические коэффициенты базиса (r_u₀, r_v₀).

Координаты u и v на поверхности M будем также обозначать u¹ и u² соответственно. Тогда

I(dr) = a_a_bdu^a du^b, a,b=1,2, (6)

где метрический тензор a_a_b определяется формулами

a_a_b = r_a•r_b, (a, b = 1,2)

Квадратичная форма (6) называется первой квадратичной формой поверхности M .

Длина кривой поверхности X определяется формулой

s = ∫√(Eu¢²(t)+2Fu¢(t)v¢(t)+Gv¢²(t)) dt

Косинус угла между векторами

dr = r₁du¹ + r₂du² и dr = r₁du¹ + r₂du²

определяется формулой

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒