![]()
|
|||||||
Теорема.. Гиперплоскость. Элементарные поверхности и их параметризацияТеорема. Множество Ηx0, является n-1-мерным подпространством пространства Vn, состоящим из всех векторов, ортогональных ковектору ÑF : Ηx0 = { aÎVn | a•ÑF = 0}. Док-во. Дифференцируем функцию F(x(t)) = 0 dF(x(t))/dt = x'(t)•ÑF = 0 Гиперплоскость Гиперплоскость пространства An, проходящая через точку x0 параллельно пространству Ηx0, называется касательной гиперплоскостью к гиперповерхности (3) в точке x0 . Элементарные поверхности и их параметризация Рассмотрим отображение вида g: U "An, (*) где U — выпуклое (содержит каждый прямолинейный отрезок, концы которого принадлежат U) открытое подмножество арифметической плоскости R2 , An — некоторое точечно евклидово пространство. Когда в An выбрано начало отсчета, отображение (*) задается непрерывной вектор-функцией x = x(u,v), (u,v) Î U, (1) принимающей значения в ассоциированном линеале Vn. Числа (u,v) Î U называют координатами точки p = g(u,v) Î An Если в An выбран базис ei, то отображение (1) задается непрерывными числовыми функциями x1 = x1(u,v),…, xn = xn(u,v) — координатами в базисе ei вектора x. Для гладких отображений определены частные производные Поверхность называется регулярной, если в каждой точке векторы xu и xv линейно независимы. Отображение (1) x = x(u,v), (u,v)ÎU, называется параметризацией, если оно 1. гладко, 2. регулярно, 3. монеоморфно (инъективно и из сходимости последовательности точек g(un,vn) в An следует сходимость последовательности (un,vn) в U)
Подмножество M Ì An называется элементарной поверхностью, если существует такая параметризация g: U"An, что g(U) = M.
Параметризация поверхности M кривую в U, заданнуюпараметрическими уравнениями u = u(t), v = v(t), tÎI, переводит в кривую x = x(u(t),v(t)), tÎI пространства A.
Пусть U, U*ÌR2. Тогда диффеоморфизм j: U*"U осуществляет замену координат.
Диффеоморфизм — биективное отображение, имеющее гладкое обратной отображение.
|
|||||||
|