Конус второго порядка

Конус второго порядка

Исследуем уравнение поверхности

(35)

Пересечем поверхность (35) плоскостями . Линия пересечения , . При она вырождается в точку . При в сечении будем получать эллипсы

Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании .

Рассечем поверхность (35) плоскостью . Получится линия

распадающаяся на две пересекающиеся прямые

и .

При пересечении поверхности (35) плоскостью получим линию

также распадающуюся на две пересекающиеся прямые

и .

Поверхность, определяемая уравнением (35), называется конусом второго порядка.

Поверхности, составленные из прямых линий, называются линейчатыми. Такими поверхностями являются цилиндрические, конические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

Пример 1. Найти центр и радиус сферы, заданной уравнением

Разделим почленно данное уравнение на 2 и выделим полные квадраты:

Перейдем к новым координатам по формулам

; ; .

В новой системе координат уравнение принимает вид

Оно определяет сферу радиуса с центром в точке, для которой ; ; или ; ; , т. е. ; ; .

Следовательно, центр данной сферы находится в точке и радиус .

З а м е ч а н и е. Если уравнение

(т. е. уравнение, у которого коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а коэффициенты при произведениях координат равны нулю) определяет некоторую поверхность, то этой поверхностью является сфера.

Уравнение (5.31) в этом случае может быть приведено к виду