Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид
Эллиптический параболоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
(33)
где , . Рассечем поверхность (33) плоскостями . В сечении получим линию, уравнения которой есть

Если , то плоскости поверхности не пересекают; если , то плоскость касается поверхности в точке ; если , то в сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет вид

Его полуоси возрастают с ростом .
При пересечении поверхности (33) координатными плоскостями и получатся соответственно параболы и . Таким образом, поверхность, определяемая уравнением (33), имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши. Поверхность (33) называется эллиптическим параболоидом.
Гиперболический параболоид
Исследуем поверхность, определяемую уравнением
(34)
где , . Рассечем поверхность (34) плоскостями . Получим кривую

которая при всех значениях является гиперболой. При ее действительные оси параллельны оси ; при параллельны оси ; при линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых и . При пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости , будут получаться параболы

ветви которых направлены вверх. При в сечении получается парабола

с вершиной в начале координат и осью симметрии .
Пересекая поверхность (34) плоскостями , получим параболы , ветви которых направлены вниз.

Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности: она имеет вид седла. Поверхность (34) называется гиперболическим параболоидом.
|