Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

По заданному уравнению поверхности второго порядка (т.е. поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными.

Эллипсоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

(28)

Рассмотрим сечения поверхности (28) с плоскостями, параллельными плоскости . Уравнения таких плоскостей: , где любое число.

Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями

(29)

Исследуем уравнения (29):

а) Если , , то . Точек пересечения поверхности (28) с плоскостями не существует.

б) Если , т. е. , то . Линия пересечения (29) вырождается в две точки и . Плоскости и касаются данной поверхности.

в) Если , то уравнения (29) можно переписать в виде:

Как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями и

При этом чем меньше , тем больше полуоси и . При они достигают своих наибольших значений: , . Уравнения (29) примут вид

Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверхности (28) плоскостями и .

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность (28) как замкнутую овальную поверхность. Поверхность (28) называется эллипсоидом. Величины , и называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным; если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если , то в сферу .

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒