Поверхности вращения. Конические поверхности
Поверхности вращения. Конические поверхности
Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая лежит в плоскости . Уравнения этой кривой запишутся в виде
(22)
Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси .
Возьмем на поверхности произвольную точку . Проведем через точку плоскость, перпендикулярную оси , и обозначим точки пересечения ее с осью и кривой соответственно через и . Обозначим координаты точки через . Отрезки и являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому . Но , . Следовательно, или . Кроме того, очевидно, .
Так как точка лежит на кривой , то ее координаты удовлетворяют уравнению (22). Стало быть, . Исключая вспомогательные координаты и точки , приходим к уравнению
. (23)
Уравнение (23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.
Как видно, уравнение (23) получается из (22) простой заменой на , координата сохраняется.
Понятно, что если кривая (22) вращается вокруг оси , то уравнение поверхности вращения имеет вид
;
если кривая лежит в плоскости и ее уравнение , то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси , есть .
Так, например, вращая прямую вокруг оси , получим поверхность вращения (ее уравнение или ). Она называется конусом второго порядка.
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку и пересекающими данную плоскую линию (не проходящую через ), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия называется направляющей конуса, точка ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.
Пусть направляющая задана уравнениями
(24)
а точка вершина конуса. Найдем уравнение конуса.
Возьмем на поверхности конуса произвольную точку Образующая, проходящая через точки и , пересечет направляющую в некоторой точке . Координаты точки удовлетворяют уравнениям (24) направляющей:
(25)
Канонические уравнения образующих, проходящих через точки и , имеют вид
. (26)
Исключая , и из уравнений (25) и (26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты , и .
Пример. Составить уравнение конуса с вершиной в точке , если направляющей служит эллипс , лежащий в плоскости .
Решение: Пусть любая точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки и точку пересечения образующей с эллипсом будут . Исключим , и из этих уравнений и уравнения
(27)
(точка лежит на эллипсе), . Имеем, , . Отсюда и . Подставляя значения и в уравнение эллипса (27), получим
или .
Это и есть искомое уравнение конуса.
|