Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья





Поверхности вращения. Конические поверхности



Поверхности вращения. Конические поверхности

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая  лежит в плоскости . Уравнения этой кривой запишутся в виде

                                                                                   (22)

Найдем уравнение поверхности, образованной вра­щением кривой  вокруг оси .

Возьмем на поверхности произвольную точку . Проведем через точку  плоскость, перпендикулярную оси , и обозначим точки пересечения ее с осью  и кривой  соответ­ственно через  и . Обозначим координаты точ­ки  через . Отрезки  и  являют­ся радиусами одной и той же окружности. Поэто­му . Но , . Следовательно,  или . Кроме того, очевид­но, .

Так как точка  лежит на кривой , то ее координаты удовлетворяют уравнению (22). Стало быть, . Исключая вспомогательные координаты  и  точки , приходим к уравнению

                                 .                              (23)

Уравнение (23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.

Как видно, уравнение (23) получается из (22) простой заменой на , координата  сохраняется.

Понятно, что если кривая (22) вращается вокруг оси , то уравнение поверхности вращения имеет вид

;

если кривая лежит в плоскости и ее уравнение , то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси , есть .

Так, например, вращая прямую вокруг оси , получим поверхность вращения (ее уравнение  или ). Она называется конусом второго порядка.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку  и пересекающими данную плоскую линию  (не проходящую через ), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия  называется направляющей конуса, точка ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.

Пусть направляющая  задана уравнениями

                                                                               (24)

а точка вершина конуса. Найдем уравнение конуса.

Возьмем на поверхности конуса произвольную точку  Образующая, проходящая через точки  и , пересечет направляющую  в некоторой точке . Координаты точки  удовлетворяют уравнениям (24) направляющей:

                                                                             (25)

Канонические уравнения образующих, проходящих через точки  и , имеют вид

                                   .                      (26)

Исключая ,  и  из уравнений (25) и (26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты ,  и .

Пример. Составить уравнение конуса с вершиной в точке , если направляющей служит эллипс , лежащий в плоскости .

Решение: Пусть любая точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки  и точку  пересечения образующей  с эллипсом будут . Исключим ,  и  из этих уравнений и уравнения

                                                                                  (27) 

(точка  лежит на эллипсе), . Имеем, , . Отсюда  и . Подставляя значения  и  в уравнение эллипса (27), получим

или .

Это и есть искомое уравнение конуса.

 



  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.