Принцип Ферма. Законы отражения и преломления.

Принцип Ферма. Законы отражения и преломления.

В предельном случае перехода к геометрической оптике (λ→0) распространения волнового фронта может быть найдено простым построением. В каждой точке волнового фронта построим сферу с радиусом ,где - скорость волны, -б/м промежуток времени. Поверхность огибающая эти сферы также есть поверхность равной фазы , так как все точки её будут иметь к моменту те же фазы, что и точки поверхности F к моменту t. Отрезки прямых dn соединяющие точки фронта F

С точкой касания соответствующей сферы и огибающей, представляют собой элементы луча, перпендикулярные к поверхности фронта.

Продолжая построения можно шаг за шагом определить поверхность равной фазы и в то же время найти направление лучей (из отрезков dn). Таким образом, действительный путь распространениясвета (луч) есть путь, для нахождения которого свету требуется min время по сравнению с любым другим мыслимым путем между теми же точками.

Действительно от А до В вдоль луча свет проходит за время , где т.е.

Всякий другой путь больше и отличается, больше, чем при распространении по нормам. Таким образом, действительно путь распространения света (луч) соответствует min времени распространения (принцип Френеля).

Эта теорема в геометрической оптике представляет аксиому, сформулированную Ферма (1660г.) как общий закон распространения света.

Для однородной среды этот принцип приводит к закону прямолинейного распространения согласно геометрической аксиоме о том, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

Для случая перехода через границу различных сред этот принцип дает законы отражения и преломления света. Любой путь лежащей вне плоскости падения проходиться светом за большее время, чем путь POQ проведенный в плоскости падения. И в согласии с принципом Ферма путь, требующий минимального времени должен лежать в плоскости падения (т.е плоскости перпендикулярна к границе раздела и проходящая через P и Q).

Таким образом, получим первый закон преломления.

Чтобы из всех путей от Р до Q лежащих в плоскости падения выбрать путь, требующий min времени, исследуем как меняется это время в зависимости от положения точки О.

Путь АО=х; РА= ; QB= ; AB=P; OB=P-x.

Время распространения света по пути POQ будет:

, где скорости света в этих средах.

Или

Условие min времени есть т.е.

или

т.е. или относительный показатель преломления среды 2 относительно среды 1.

Абсолютный показатель .

Для малых углов закон преломления .

При формальной замене получаем закон отражения . Таким образом, любую формулу, выведенную для преломляющих систем можно использовать для описания явлений в отражающих системах.

Понятие: Если пучок лучей имеет одну общую вершину, то его называют гомоцентрическим.

Если после отражения и преломления это пучок превращается в пучок, сходящийся также в точку, то гомоцентричность сохраняется и эта точка сопряжена с L, или является изображением точки L.

Систему,сохраняющую гомоцентричность пучка называют стигматической.В противном случае – астигматической.

Так как в практической оптике обычно ставиться задача получения изображений, точно передающих форму источника, то важнейшим вопросом лучевой оптики является выяснение условий сохранения гомоцентричности пучков.

Отражение и преломление света на плоской границе раздела. Призмы. Световоды.

Луч света, достигнув плоской границы раздела 2-х сред частично отражается частично проходит, неиспытывая преломление.

так как угол падения равен углу отражения, то гомоцентричность отражения лучей сохраняется. Лучи сойдутся на расстоянии а от границы раздела( если их продолжить назад). Т.е. плоская граница создает мнимое изображение точечного источника. Если источник протяженный, то каждой точке его поверхности будет соответствовать свое изображение и изображение источника будет прямым и мнимым.

Для преломленных лучей гомоцентричноть пучка нарушается. Это связано с тем, что по закону преломления пропорциональны между собой не значения углов падения и преломления, а их синусы. Но если углы падения малы, то гомоцентричность пучков при преломлении практически сохраняется. При наблюдении из оптически более плотной среды будет казаться, что источник света находиться на расстоянии от границы раздела; а из менее оптически плотной среды кажется, что на расстоянии . Именно поэтому нам кажется, что предметы, находящиеся в воде. Как бы уменьшаются в размерах.

Из закона преломления, примененного к случаю падения луча из оптически более плотной сферы (скорость света ) следует, что угол преломления больше угла падения .

Но если угол падения удовлетворяет условию или , то угол преломления равен , т.е. преломленный луч скользит по границе раздела. Такой угол называется предельным. При дальнейшем увеличении угла падения проникновение луча вглубь второй среды прекращается и наступает полное отражение.

строгое рассмотрение вопроса с волновой точки зрения показывает, что в действительности волна проникает во вторую среду на глубину ~λ.

Полное отражение находит различные практические применения.

Так как для системы стекло-воздух то призмы позволяют изменять ход луча так, что отражение происходи почти без потерь.

Если ввести свет в тонкую стеклянную трубку с её торца, то испытывая на стенках полное отражение, луч будет следовать вдоль трубки даже при сложных её изгибах. На этом принципе работают световоды – тонкие прозрачные волокна, позволяющие проводить световой пучок по искривленному пути (волоконная оптика). Луч, вошедший в световод по углом α встретит поверхность световода по углом , где - угол преломления. Чтобы при этом возникло полное отражение надо чтобы , где n – показатель преломления световода.

Так как или , но так как , то . Пологая , что получим . Таким образом, даже при почти скользящем падении луч испытывает в световоде полное отражение если . В действительности световод набирается из тонких гибких волокон с n, окруженных оболочкой с .

Каждое волокно передает по световоду небольшой участок изображения, получающее на выходе световода.

Призма.

- преломляющий угол

б - угол отклонения луча;

так как б- внешний угол ∆,то

но так же есть внешний угол другого ∆ и поэтому , т.е. так как , то Исследуем на экстремум функцию угла отклонения луча. Беря производную от б по γ, и приравняв к нулю:

Или

. Если , то это удовлетворяется; а так как , то , т.е. ход лучей должен быть симметричным. При этом получается min угол отклонения, так как при и , т.е. . Отсюда , а так как , то

Это уравнение применяется для определения n по углу минимального отклонения.

Опыт показывает, что стеклянные призмы сильнее преломляют коротковолновую часть спектра (синие лучи), и что нет линейной связи между . Мера дисперсии (с- синий, к- красный).

Отражение и преломление света на сферической поверхности раздела.

Будем рассматривать только те лучи, направление распространения которых с нормалью к поверхности составляет малые углы. Т.е. sin и tg можно заменить значениями углов (параксиальные лучи).

Введем прямоугольную систему координат с началом О на сферической поверхности. Тогда все расстояния, отчитываемые влево меньше О, а вправо больше О. Вертикальные отрезки отчитываемые вверх больше О, а вниз меньше О.

Углы меньше О если их sin меньше О.Если углы отчитываемые от нормали к сферической поверхности не совпадают с выбранной осью абсцисс, то больше нуля если поворот луча к нормали против часовой стрелки.

Рассмотрим преломление 2-х лучей: одного вдоль оси абсцисс и другого под углом ~ (-α). Первый луч не изменит направление. Второй падая под углом (-i)преломится под углом ~ (-i’). Причем для параксиальных лучей .

Так как i внешний в треугольнике, то , т.е.

аналогично .

так как или или

т.е. , но , отсюда

а так как ; , то или

или же    т.е. преломлении параксиальных лучей на сферической поверхности остается постоянной некоторая величина Q (инвариант Аббе).

Преобразим полученное выражение:

(*)

Если источник бесконечно далеко, т.е. , то после преломления лучи собираются в точке называемой задним фокусом сферической поверхности . Значение тогда .

Если источник поместить в точку , т.е. в передний фокус сферической поверхности, то и лучи распространяются параллельно друг другу.

Причем .

Величину, определяющую переднее фокусное расстояние называется оптической силой сферической поверхности.

; где

Если в (*) заменить n на то получим формулу сферического зеркала

.

Величина называется фокусным расстоянием зеркала. Если R>0, то , т.е. изображение даваемое выпуклым зеркалом всегда мнимое.

Если R>0, то или, т.е. и в зависимости от значения S может быть как мнимое, так и действительным.

Если R→∞ , то и следовательно изображение даваемое плоским зеркалом всегда мнимое.

  Лучи света, от источника конечных размеров пройдя через сферические поверхности раздела, могут дать стигматическое изображение предмета.

Линейное увлечение V есть отношение поперечного размера изображения к поперечному размеру изображения h.

Угловым увеличением W называется отношение значения угла    под которым лучи сходятся в точку изображения , к значению угла и под которым соответствующие лучи выходят от источника.

Из подобия треугольников:

или , но т.е. но т.е. поэтому или nuh= теорема Лагранжа- Гельмгольца т.е. произведение линейного увеличения . Углового увеличения и отношение показателей преломления 2-х сред к для сферической поверхности есть величина постоянная n=1:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒