![]()
|
|||
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интегралаВычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла Пример 1.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке [1; 3], то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):
Пример 2.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции Решение. Результат применения формулы (1): Если Пример 3.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции Решение. Фигура, соответствующая условию задачи - криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку
Пример 4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры, заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC. При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC - абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C - точкой пересечения параболы с осью Ox). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим Пример 5.Найти площадь криволинейной трапеции ACDB, если уравнение кривой CD Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек:
Пример 6.Найти площадь фигуры, ограниченной параболой Решение. Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисления её площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являются абсциссы Пример 7.Найти площадь, заключённую между осью абсцисс (Ox) и двумя соседними волнами синусоиды. Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):
Найдём отдельно каждое слагаемое:
Окончательно находим площадь:
Пример 8.Найти площадь фигуры, заключённой между параболой Решение. Выразим уравнения линий через игрек: Площадь по формуле (2) получим как
где a и b - абсциссы точек A и B. Найдём их, решая совместно уравнения: Отсюда Окончательно находим площадь: И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3).
|
|||
|