Задания для самостоятельной работы

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

7) 4х-5ּ2х+4=0

Представим 4^х как 2^2х, получим:

2^2х-5ּ2^х+4=0

Введем подстановку: 2^х обозначим переменной t. Cледовательно: 2^2х=t². Получим:

t²-5t+4=0

Найдем корни уравнения по теореме Виета:

t₁=1

t₂=4

Заменим t на 2^х:

2^х=1

Заметим, что 2⁰=1

2^х=2⁰

Приравняем показатели:

х=0

2^х=4

Заметим, что 4=2²

2^х=2²

Приравняем показатели:

х=2

Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.

Ответ: х = 0 и х = 2.

Примеры решения неравенств:

1) 4^5-2x<0,25.

Представим правую часть в виде: 0,25=(²⁵/₁₀₀)=(¹/₄)=4^-1;

4^5-2x<4^-1; функция у=4^х с основанием 4>1 возрастает на R, в связи с этим, опуская основания степеней, знак неравенства сохраним:

5-2x<-1; — 2x<-1-5; — 2x<-6 |:(-2) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный: x>3.

Ответ: (3; +∞).

2) 0,42х+1≥0,16.

Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем: 0,4^2х+1≥0,4²; основание степеней – число 0,4 — удовлетворяет условию: 0<0,4<1; в связи с этим, опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:

2х+1≤2; 2х≤2-1; 2х≤1 |:2 x≤0,5.

Ответ: (-∞; 0,5].

3) 2^3-x+2^1-x>40. Применим формулу: a^x+y=a^x∙a^y. Запишем неравенство в виде:

2³∙2^-x+2¹∙2^-x>40; Вынесем общий множитель за скобки:

2^-x∙(2³+2¹)>40; упрощаем левую часть:

2^-x∙(8+2)>40;

2^-x∙10>40 |:10

2^-x>4;

2^-x>2²; основание степени — число 2>1,значит, знак неравенства сохраняем:

— x>2 |:(-1) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число — знак неравенства меняют на противоположный: x<-2.

Ответ: (-∞; -2).

Задания для самостоятельной работы