![]()
|
|||||||
Криволинейные интегралы ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 Криволинейные интегралы Криволинейный интеграл 1- го рода.Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой L. Разобьём дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками А = А0, А1,…,Аn = В, имеющих длину ∆σ Интегральной суммой для функции f(x,y) по длине дуги АВ называется сумма вида
Если при max s I = то этот предел называется криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f( x, y ) и обозначается следующим образом:
Если кривая задана уравнением у = j(х) ( а £ х £ в), то
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y = y(t) (a£ t £ b), то
Основные свойства криволинейного интеграла 1 - го рода: 1. Криволинейный интеграл 1 - го рода не зависит от направления пути интегрирования: 2. 3. 4. Если К = К1ÈК2, то Пример. Вычислить интеграл у2 = 2х от точки (0,0) до точки (4,2 Решение. Здесь линию удобно задать в форме, разрешенной относительно х: х =
Криволинейный интеграл 2 - го рода. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в точках дуги АВ гладкой кривой АВ. Интегральной суммой для функций Р(х,у) и Q(x,y) по координатам называется сумма вида
где Dк и Dк - проекции дуги на оси Ох и Оу. Криволинейным интегралом по координатам от выражения Р(х,у)dx+ +Q(x,y)dy по направленной дуге АВ называется предел интегральной суммы при условии, что max Dх
Если кривая задана уравнением у = j(х) ( а £ х £ в), то
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y = y(t) (a£ t £ b), то
Основные свойства криволинейного интеграла 2- го рода. Криволинейный интеграл 2 - го рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования:
Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла 1 - го рода. Пример Вычислить интеграл 1) отрезок прямой, соединяющий точки О (0,0) и А(1,1); 2) дугу параболы у = х2, соединяющей эти же точки. Решение: 1. Уравнение линии интегрирования у = х. Следовательно, dy = dx и 2. у = х2, dy = 2xdx и
Криволинейные интегралы по замкнутому множеству обозначим символом Формула Грина. Если функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области Д, то имеет место формула
где L - граница области Д, и интегрирование вдоль L производится в положительном направлении.
О (0,0), А(5,0), В(5,4) и С(0,4). Решение. Так как Р(х,у) = х2+у2, Q(x,y) = (х+у)2, то Вычислим двойной интеграл по данной области Д: Д=
|
|||||||
|