Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл 1- го рода.Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой L. Разобьём дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками А = А₀, А₁,…,А_n = В, имеющих длину ∆σ , ∆σ , …, ∆σ . Выберем на каждой элементарной дуге произвольную точку P (ξ ;η_к) и умножим значение функции в точки P на длину соответствующей дуги.

Интегральной суммой для функции f(x,y) по длине дуги АВ называется сумма вида

Если при max s интегральная сумма имеет определенный конечный предел

I = ,

то этот предел называется криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f( x, y ) и обозначается следующим образом:

Если кривая задана уравнением у = j(х) ( а £ х £ в), то

Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y = y(t) (a£ t £ b), то

Основные свойства криволинейного интеграла 1 - го рода:

1. Криволинейный интеграл 1 - го рода не зависит от направления пути интегрирования: .

2. .

3. к , где к - константа.

4. Если К = К₁ÈК₂, то .

Пример. Вычислить интеграл , где L - дуга параболы

у² = 2х от точки (0,0) до точки (4,2 ).

Решение. Здесь линию удобно задать в форме, разрешенной относительно х: х = . Тогда х¢ = у и интеграл преобразуется к виду = = .

Криволинейный интеграл 2 - го рода. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в точках дуги АВ гладкой кривой АВ. Интегральной суммой для функций Р(х,у) и Q(x,y) по координатам называется сумма вида

,

где D_к и D_к - проекции дуги на оси Ох и Оу.

   Криволинейным интегралом по координатам от выражения Р(х,у)dx+ +Q(x,y)dy по направленной дуге АВ называется предел интегральной суммы при условии, что max Dх и max Dу :

.

Если кривая задана уравнением у = j(х) ( а £ х £ в), то

.

Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y = y(t) (a£ t £ b), то

.

   Основные свойства криволинейного интеграла 2- го рода. Криволинейный интеграл 2 - го рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования:

.

Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла 1 - го рода.

      Пример Вычислить интеграл , принимая за линию L:

1) отрезок прямой, соединяющий точки О (0,0) и А(1,1);

2) дугу параболы у = х², соединяющей эти же точки.

Решение:

1. Уравнение линии интегрирования у = х. Следовательно, dy = dx и = .

2. у = х², dy = 2xdx и = = =

.

    Криволинейные интегралы по замкнутому множеству обозначим символом В случае замкнутого контура на плоскости направление обхода, при котором область, ограниченная контуром, остается слева (обход контура совершается против хода часовой стрелки), называется положительным.

   Формула Грина. Если функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области Д, то имеет место формула

,

где L - граница области Д, и интегрирование вдоль L производится в положительном направлении.

   Пример 7. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл , где L - контур прямоугольника с вершинами

О (0,0), А(5,0), В(5,4) и С(0,4).

   Решение. Так как Р(х,у) = х²+у², Q(x,y) = (х+у)², то . Таким образом = = = I, Д - область прямоугольника ОАВС (рис.17).

   Вычислим двойной интеграл по данной области Д:

Д= .                                                              I= .

⇐ Предыдущая 1 2 3 45