Пример 3.Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , если D - I четверть круга .

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Пример 3.Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , если D - I четверть круга .

Решение. Полагая х = r cosj, y = r sinj, имеем уравнение окружности

r² cos²j + r² sin²j = 1 или r = 1, тогда

= = .

Приложения двойного интеграла

Вычисление площади плоской фигуры. Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле

Если область D определена, например, неравенствами , то

Если область D в полярных координатах определена неравенствами , то

Пример 4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, x + y = 6.

Рис.4

Решение. Построим данную область Д: , x + y = 6 (рис.16). Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему уравнений: и

x + y = 6. В результате получим А(4;2), В(3;3). Таким образом,

D= и площадь области равна:

dy =

= (кв.ед.).

Вычисление объёмов тел

А. Объём цилиндрического тела

Отметим, что кроме этой формулы можно написать ещё две аналогичные. Речь идёт о случаях, когда “основание” тела лежит в плоскости или , а “крыша” задаётся, соответственно, неотрицательной функцией или

Рис.5.
Пример 5. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение.Поверхность

– это цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси ординат (переменной

нет в уравнении

Рис.6.

а направляющей служит парабола в плоскости . Поверхности и – координатные плоскости и соответственно, а – плоскость, параллельная оси . Проекция тела на плоскость , т.е. его “основание” – это прямоугольник . Однако, над одной его частью “крышей” служит плоскость , а над другой частью “крыша” – это параболический цилиндр . Поэтому, при сведении двойного интеграла к повторному необходимо разбить на две части.

Лучше спроектировать тело на плоскость . В этой плоскости “основание” данного тела – это параболический сегмент . “Крышей” в этом случае служит плоскость , т.е. .

Итак, имеем для объёма (рис.6)

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒