Тройные интегралы
Тройные интегралы
Повторный интеграл в пространстве вводится аналогично повторному интегралу на плоскости.
Пусть функция непрерывна в правильной области , причём – правильная область в :
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/9116106260773.files/image264.gif)
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/9116106260773.files/image266.gif)
Зафиксируем точку и проинтегрируем непрерывную функцию –функцию одной переменной ! – по отрезку . Очевидно, что полученный интеграл будет зависеть от координат точки :
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/9116106260773.files/image277.gif)
Можно показать, что функция – непрерывная. Следовательно, существует повторный интеграл от этой функции по области :
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/9116106260773.files/image283.gif)
или, окончательно,
(3)
Эта конструкция и называется повторным интегралом в . Ещё раз заметим, что вычисление такого интеграла производится справа налево! Избегайте грубых ошибок: в пределах интегрирования внутренних интегралов могут быть только внешние переменные.
Очевидно, что кроме рассмотренного порядка интегрирования (сначала по , потом по и, наконец, по ) существуют и другие порядки, причём все они приводят к одному и тому же числу .
Пример. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле от функции по области ограниченной поверхностями , , , .
Решение. Все указанные поверхности – это плоскости: и – координатные, – параллельна координатной . Вместе с четвёртой плоскостью они ограничивают некий тетраэдр. Его проекция на – это треугольник ограниченный осями , и прямой, которая является проекцией линии пересечения граней и . Исключая переменную из этих уравнений, получим уравнение проекции: .
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/9116106260773.files/image321.gif)
Рис.9
Итак, для точек области имеем: 1) абсцисса изменяется от 0 до 2; 2) для каждого фиксированного ордината изменяется от 0 до прямой , т.е. до ; 3) аппликата изменяется от плоскости до плоскости , т.е. до . Стандартная запись области:
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/9116106260773.files/image337.gif)
Повторный интеграл имеет вид:
.
Ещё раз напомним: вычисления производятся справа налево!
|