Вычисление массы полоской фигуры

Вычисление массы полоской фигуры

Рассмотрим в плоскости материальную пластину, т.е. некоторую область , в которой распределено некое вещество с поверхностной плотностью . Тогда, как известно (см. § 1, IV), масса всей пластины есть двойной интеграл по от :

Один из примеров вычисления массы приведён в § 3. Рассмотрим ещё один характерный пример.

Пример Вычислить массу прямоугольного равнобедренного тре-угольника с гипотенузой . Известно, что плотность в любой точке треугольника пропорциональна расстоянию от до гипотенузы, а в вершине прямого угла равна .

Решение. Впишем данный треугольник в систему координат так, как показано на рисунке. Тогда координаты вершин треугольника:

Уравнения катетов: (левый) и

(правый). Таким образом, область можно записать так:

Рис.8

Лучше, однако, записать область иначе:

Далее, по условию , т.е. . Коэффициент пропорциональности находим из условия

Итак, для искомой массы имеем:

Отметим, что размерность полученного ответа – это размерность массы.

Итак, для искомой массы имеем:

Отметим, что размерность полученного ответа – это размерность массы.

Вычисление координат центра масс пластины

Известно из физики, что, если масса распределена дискретно в отдельных точках, то координаты центра масс такой системы материальных точек вычисляются по формулам

в которых – масса, сосредоточенная в точке .

Пусть теперь в плоской области имеем непрерывное распределение массы с поверхностной плотностью . Чтобы найти координаты центра масс такой области, поступим обычным образом. Разобьём область на отдельные части и выберем точки Масса , распределенная в , приближенно равна , где – площадь области . Если считать, что вся масса сосредоточена в точке , то придём к дискретному распределению массы, и поэтому