|
||||
Вычисление массы полоской фигурыВычисление массы полоской фигуры Рассмотрим в плоскости материальную пластину, т.е. некоторую область , в которой распределено некое вещество с поверхностной плотностью . Тогда, как известно (см. § 1, IV), масса всей пластины есть двойной интеграл по от :
Один из примеров вычисления массы приведён в § 3. Рассмотрим ещё один характерный пример. Пример Вычислить массу прямоугольного равнобедренного тре-угольника с гипотенузой . Известно, что плотность в любой точке треугольника пропорциональна расстоянию от до гипотенузы, а в вершине прямого угла равна .
. Уравнения катетов: (левый) и (правый). Таким образом, область можно записать так:
Рис.8 Лучше, однако, записать область иначе: Далее, по условию , т.е. . Коэффициент пропорциональности находим из условия Итак, для искомой массы имеем: Отметим, что размерность полученного ответа – это размерность массы.
Итак, для искомой массы имеем: Отметим, что размерность полученного ответа – это размерность массы.
Вычисление координат центра масс пластины Известно из физики, что, если масса распределена дискретно в отдельных точках, то координаты центра масс такой системы материальных точек вычисляются по формулам
в которых – масса, сосредоточенная в точке . Пусть теперь в плоской области имеем непрерывное распределение массы с поверхностной плотностью . Чтобы найти координаты центра масс такой области, поступим обычным образом. Разобьём область на отдельные части и выберем точки Масса , распределенная в , приближенно равна , где – площадь области . Если считать, что вся масса сосредоточена в точке , то придём к дискретному распределению массы, и поэтому
Чтобы получить точные значения для и , необходим переход к пределу при Но три суммы в написанных выше формулах – это интегральные суммы и в пределе дадут интегралы:
Интегралы, стоящие в числителях этих формул, называют статическими моментами области относительно осей и соответственно.
|
||||
|