Кратные интегралы. Двойные интегралы

Кратные интегралы

Двойные интегралы

Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОy. Разобьём область D произвольном образом на n элементарных областей, имеющих площадь ∆σ , ∆σ , …, ∆σ и диаметры d , d₂, … , d (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P (ξ ;η_к ) и умножим значение функции в точки P на площадь этой области.

Рис.1

Интегральной суммой для функции f(x,y) по области D называется сумма вида

Если при max d интегральная сумма имеет определенный конечный предел

I = ,

не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек P в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f( x, y ) в области D и обозначается следующим образом:

I = .

Если f(x,y)>0 в области D, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси О , и снизу областью D плоскости хОy.

Основные свойства двойного интеграла:

2. , где с – постоянная.

3. Если область интегрирования D разбита на две области D и D , то

4. Оценка двойного интеграла. Если m ≤ f(x,y) ≤ M, то , где S - площадь области D, а m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y)в области D.

Пример 1.Вычислить ,если область D ограничена прямыми y = х, y = 2х, х =2, х =3.

Решение. Вначале построим заданную область D (рис.2). Как видно

из графика D = .

Тогда

= 25 .

Пример 2.Изменить порядок интегрирования в интеграле:

I = .

Решение. Вначале по пределам интегрирования определяем область интегрирования. Полагая xравным пределам интеграла с переменной х, а y равным пределам интеграла с переменной y, получим уравнения линий, ограничивающих эту область: х = -2, х = 2, y = , y = 4.

Построив эти линии, получим параболический сегмент ОАВ, симметричный оси О (рис.3).

Интегрируем в другом порядке – вначале по х, затем по y. Пределы внутреннего интеграла находим, разрешая относительно х

уравнение параболы х = - и х = . Пределы внешнего интеграла y = 0 и х = 4 находим как наименьшее и наибольшее значение y во всей области ОАВ. Следовательно,

Рис. 3

Двойной интеграл в полярных координатах.Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, y к полярным координатам ρ, θ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями

х = r cosj, y = r sinj,

осуществляется по формуле

Рис.2

12 3 4 5 Следующая ⇒