![]()
|
|||||||||
Кратные интегралы. Двойные интегралыСтр 1 из 5Следующая ⇒
Кратные интегралы Двойные интегралы Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОy. Разобьём область D произвольном образом на n элементарных областей, имеющих площадь ∆σ Рис.1 Интегральной суммой для функции f(x,y) по области D называется сумма вида
Если при max d I = не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек P I = Если f(x,y)>0 в области D, то двойной интеграл Основные свойства двойного интеграла: 1. 2. 3. Если область интегрирования D разбита на две области D 4. Оценка двойного интеграла. Если m ≤ f(x,y) ≤ M, то
Пример 1.Вычислить Решение. Вначале построим заданную область D (рис.2). Как видно из графика D =
Тогда
Пример 2.Изменить порядок интегрирования в интеграле: I Решение. Вначале по пределам интегрирования определяем область интегрирования. Полагая xравным пределам интеграла с переменной х, а y равным пределам интеграла с переменной y, получим уравнения линий, ограничивающих эту область: х = -2, х = 2, y = Построив эти линии, получим параболический сегмент ОАВ, симметричный оси О Интегрируем в другом порядке – вначале по х, затем по y. Пределы внутреннего интеграла находим, разрешая относительно х
Рис. 3 Двойной интеграл в полярных координатах.Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, y к полярным координатам ρ, θ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями х = r cosj, y = r sinj, осуществляется по формуле
![]()
|
|||||||||
|