Петя заменил в примере на умножение одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными: АБ · ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он ошибся.

У каждого из чисел от 1 до 1 000 000 000 подсчитали сумму его цифр, у каждого из получившегося миллиарда чисел снова подсчитали сумму цифр, и так до тех пор, пока не получили миллиард однозначных чисел. Каких чисел получили больше всего?

Ответ. Больше всего получилось единиц.

Указание. Сумма цифр натурального числа n дает такой же остаток при делении на 9, как и само число n.

Решение. Сумма цифр натурального числа n даёт такой же остаток при делении на 9, как и само число n, поэтому все числа, кратные девяти, превратятся в конце концов в нули или девятки, все числа, дающие остаток 1 при делении на 9 — в единицы, дающие остаток 2 — в двойки, и так далее. Остаётся лишь заметить, что среди первого миллиона натуральных чисел остаток 1 дают 111 111 112 чисел, а остатки 2, 3, ..., 8, 0 — по 111 111 111 чисел.

Указание. Число ДДЕЕ делится на 11.

Решение. Так как ДДЕЕ = 11 · Д0E, то правая часть равенства делится на 11. Если равенство верное, то на 11 должна делится и левая его часть, то есть произведение АБ · ВГ. Число 11 — простое, поэтому произведение делится на 11 только в том случае, если один из множителей делится на 11. Очевидно, ни АБ, ни ВГ на 11 не делятся.

а) Докажите, что числа вида aa, abcabc, abcdeabcde делятся на 11. (И вообще, докажите, что если к произвольному числу, в котором нечётное количество цифр, приписать его же, то получим число, делящееся на 11. )

Указание I. Очевидно, aa = 11 · a. Далее,

abcabc = 100100a + 10010b +1001c,

а число 1001 кратно числу 11. Аналогичным образом, воспользовавшись делимостью числа 100001 на 11, можно разобрать и случай abcdeabcde. В общем случае используйте делимость на 11 любого чётнозначного числа вида 1000... 0001 (точнее говоря, числа, первая и последняя цифра десятичной записи которого равны единице, а остальные цифры равны нулю, причём количество нулей чётно).

Указание II. Воспользуйтесь признаком делимости на 11.

б) Если к произвольному числу приписать число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то полученное число без остатка разделится на 11: например, числа вида aa, abba, abccba кратны 11. Докажите это.

⇐ Предыдущая 1 2 34